Question

1) Una torre que sirve de soporte para una antena de radio está sujeta al suelo mediante dos cables que forman con dicha torre ángulos cuyas medidas son 26º y 58º respectivamente si los puntos de sujeción de los cables al suelo y el pie de la torre se encuentran alineados y a una distancia total de 100m, calcule la altura de la torre.

Answer 1

La altura de la torre es de 37.38 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Solución

Se representa la situación en un triángulo oblicuángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos puntos de sujeción de cada uno de los cables. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas longitudes desde cada uno de los cables desde los puntos de sujeción en el suelo hasta la parte más alta de la torre.  

Donde se pide hallar la altura de la torre

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos longitudes de cada cable desde sus respectivas sujeciones en el suelo hasta el vértice C donde se encuentra la parte más alta de la torre dado que conocemos la distancia de separación entre las dos sujeciones de cada uno de los cables  y también conocemos los ángulos que estos forman en cada extremo donde se hallan los puntos de sujeción con respecto a sus respectivas longitudes hasta la parte más alta de la torre

Teniendo para el punto A un ángulo de 26°, y para el punto B un ángulo de 58°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Como la altura de la torre -que es nuestra incógnita- secciona al triángulo oblicuángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 26° y de 58° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando la ley del seno cualquiera de las dos longitudes de cada cable desde sus respectivos puntos de sujeción en el suelo hasta la cima de la torre-  habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura de la torre es el mismo para ambos triángulos

Por lo tanto basta con hallar la distancia desde uno de los puntos de sujeción -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta la parte más alta de la torre para hallar luego su altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado  

Debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 26^o+ 58^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 26^o- 58^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 96^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 96°

Alternativa 1

Hallamos la longitud de un cable desde el punto en A hasta la parte más alta de la torre -lado AC (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(58 )^o } = \frac{ 100 \ m }{sen(96)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 100 \ m \ . \ sen(58 )^o }{sen(96)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 100\ m \ . \ 0.8480480961564}{ 0.9945218953682 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 84.804809615642 }{ 0.9945218953682 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 85.27 \ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura de la torre

$\boxed { \bold { sen(26)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(26)^o = \frac{altura \ torre }{longitud\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre= longitud \ b \ . \ sen(26)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre = 85.27\ m \ . \ sen(26)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre= 85.27\ m \ . \ 0.4383711467890 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ torre= 37.38 \ m }}$

Alternativa 2

Hallamos la longitud del otro cable desde el punto en B hasta la parte más alta de la torre -lado BC (a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(26 )^o } = \frac{ 100 \ m }{sen(96)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 100 \ m \ . \ sen(2 6)^o }{sen(96)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 100\ m \ . \ 0.4383711467890 }{0.9945218953682 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 43.837114678907 }{ 0.9945218953682 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 44.08\ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en BDC para determinar la altura de la torre

$\boxed { \bold { sen(58)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(58)^o = \frac{altura \ torre }{longitud\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre= longitud \ b \ . \ sen(58)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ torre= 44.08\ m \ . \ sen(58)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre =44.08\ m \ . \ 0.8480480961564 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ torre= 37.38 \ m }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura de la torre