1) Una retroexcavadora se dirige hacia una construcción cuya altura es de 320 m a una velocidad de 40 m/s. ¿Con qué rapidez crece el ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor cuando este se encuentra a 360 m de la torre?
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Respuestas a la pregunta
El ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor, cuando este se encuentra a 360 m de la torre de 320 m, crece con una rapidez aproximada de 0.06 radianes/s.
Explicación paso a paso:
La base y la azotea de la construcción junto con la retroexcavadora forman un triángulo rectángulo con un cateto fijo, la altura h de la construcción, y dos lados variables, la hipotenusa z desde la retroexcavadora hasta la azotea, y el otro cateto, la distancia horizontal x que separa la retroexcavadora de la base de la construcción.
La hipotenusa z y la horizontal x forman un ángulo, que llamaremos p, del cual se desea conocer su rapidez de crecimiento en las condiciones dadas.
Este es un problema de razones relacionadas o derivadas ligadas, que se resuelve usando derivación implícita con respecto al tiempo t quien es la variable independiente que controla el sistema.
Usaremos la expresión de la razón trigonométrica Cotangente en el triángulo rectángulo:
Ctg(p) = x/h
Derivando implícitamente con respecto al tiempo t (h es constante)
Se desea conocer dp/dt cuando
dx/dt = -40 m/s (disminuye) x = 360 m h = 320 m
Hace falta conocer p en ese instante, para ello:
Sustituimos en la derivada:
El ángulo subtendido por la parte alta de la construcción y el ojo del conductor, cuando este se encuentra a 360 m de la torre de 320 m, crece con una rapidez aproximada de 0.06 radianes/s.