Question

1).- Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 3x+2y+8=0 y 2x-9y-5=0. Hallar su ecuación sabiendo que es paralelo a la recta 6x-2y+11=0
2).- Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 7x-2y=0 y 4x-y-1=0. Y es perpendicular a la recta 3x+8y-19=0 hallar su ecuación.
3).- Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las dos rectas 3x+y-9=0,4x-3y+1=0 y cuya distancia del origen es 2
4).- Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las dos rectas 3x-4y=0,2x-5y+7=0 y forma con los ejes coordenados un triángulo de área 8.
5).- Una recta pasa por los puntos de intersección de las rectas 2x-3y-5=0 y x+2y-13=0 y el segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta
6).- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1,-4),(2,-1) y cuyo centro esta sobre la recta4x+7y+5=0.
7).- Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x-4y-1=0 en el punto (3,2). Hallar su ecuación. (dos soluciones).
8).- Una circunferencia de radio √13 es tangente a la circunferenciax^2+y^(2.)-4x+2y-47=0 en el punto (6,5). hallar su ecuación. (dos soluciones).

Answer 1

Para hallar la intersección de dos rectas en el plano, se recurre a sus ecuaciones de tipo ax+by+c=0, las cuales forman un sistema de ecuaciones cuya solución es el punto de cruce.

1) Nos queda el sistema

3x+2y=-8

2x-9y=5

cuya solución es el punto P(-2,-1), al ser paralela a 6x-2y+11=0, su ecuación será 6x-2y+k=0. Queda:

6(-2)-2(-1)+k=0

-12+2+k=0=> k=10

Con lo que la recta buscada es 6x-2y+10=0.

2) Nos queda el sistema:

7x-2y=0

4x-y=1

cuya solución es el punto P(2,7). La ecuación ordinaria, en sus coeficientes lineales nos da el vector normal a la recta, que en este caso es (3,8), un normal a este es (-8,3). Nos queda:

-8x+3y+k=0

-8.2+3.7+k=0

-16+21+k=0

k=-5

Con lo que la recta buscada es -8x+3y-5=0.

3) Nos queda el sistema:

3x+y=9

4x-3y=-1

Cuya solución es el punto P(2,3), la distancia al origen se toma en una dirección perpendicular a la recta. Como la recta pasa por el punto P(2,3), una solución podría ser x=2.

4) El sistema queda:

3x-4y=0

2x-5y=-7

cuya solución es el punto P(4,3). Para formar un triángulo de área 8 con los ejes coordenados las intersecciones con estos tienen que cumplir con:

$\frac{x_0y_0}{2}=8\\\\x_0y_0=16$

Nos quedan las ecuaciones:

$4a+3b+c=0\\x_0a+c=0\\y_0b+c=0=> \frac{16}{x_0}b+c=0\\\\x_0a=y_0b$

Poniendo todo en función de a queda:

$4a+3\frac{x_0}{y_0}a-x_0a=0\\\\4+3\frac{x_0}{\frac{16}{x_0}}-x_0=0\\\\4+\frac{3}{16}x_0^2-x_0=0$

Ecuación que no tiene raíces reales, si tomamos en cuenta que las coordenadas pueden ser tanto positivas como negativas podemos hacer:

4-\frac{3}{16}x_0^2-x_0

esta ecuación tiene raíces en x0=-8 y $x_0=\frac{8}{3}$. Los que dan valores para y0 de 2 y -6 respectivamente para cumplir la condición de área. Con lo que las rectas buscadas son dos.

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=>\frac{x-4}{(-8)-4}=\frac{y-3}{0-3} =>\frac{x-4}{-12}=\frac{y-3}{-3}\\\\-3x+12=-12y+36=>3x-12y+24=0\\\\\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=>\frac{x-4}{(8/3)-4}=\frac{y-3}{0-3} =>\frac{3(x-4)}{-4}=\frac{y-3}{-3}\\\\-9x+36=-4y+12=>9x-4y-24=0$

Con lo que las rectas buscadas son 3x-12y+24=0 y 9x-4y-24=0.

5) Nos queda el sistema:

2x-3y=5

x+2y=13

Que resolviéndolo da el punto P(7,3). Ahora el segmento que determina sobre el eje x es el doble de su pendiente. La ecuación punto pendiente es:

$y-3=m(x-7)$

El segmento que determina sobre el eje x lo tenemos para y=0:

$0-3=m(x_0-7)\\\\-3=m(2m-7)=2m^2-7m=>2m^2-7m+3=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática y nos da $m=\frac{1}{2}; m=3$ siendo dos las rectas que cumplen la condición:

$y-3=\frac{1}{2}(x-7)=> y-3=\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}=>2y-6=x-7=> x-2y-1=0\\\\y-3=3(x-7)=>y-3=3x-21=>3x-y-18=0$

Siendo las rectas buscadas x-2y-1=0 y 3x-y-18=0.

6) Si el centro de la circunferencia está sobre la recta 4x+7y+5=0, quiere decir que hay que encontrar un punto de esta que sea equidistante de los puntos P(-1,-4) y Q(2,-1). Podemos poner y en función de x:

$y=-\frac{4x+5}{7}$

La distancia queda expresada como:

$RQ=RP\\\\\sqrt{(2-x_0)^2+(-1-(-\frac{4x+5}{7}))^2}=\sqrt{(-1-x_0)^2+(-4-(-\frac{4x+5}{7}))^2}\\\sqrt{(2-x_0)^2+(-1+\frac{4x+5}{7})^2}=\sqrt{(-1-x_0)^2+(-4+\frac{4x+5}{7})^2}\\\\\sqrt{(2-x)^2+(\frac{-2+4x}{7})^2}=\sqrt{(-1-x)^2+(\frac{-23+4x}{7})^2}\\\\\sqrt{x^2-4x+4+\frac{16x^2-16x+4}{49}}=\sqrt{x^2+2x+1+\frac{529-184x+16x^2}{49}}$

Si seguimos operando queda:

$\sqrt{49x^2-196x+196+16x^2-16x+4}=\sqrt{49x^2+98x+49+529-184x+16x^2}\\\sqrt{65x^2-212x+200}=\sqrt{65x^2-86x+578}\\\\65x^2-212x+200=65x^2-86x+578=> 126x+378=0=>x=3$

Valor de x que en la recta corresponde a:

$y=-\frac{4.3+5}{7}=-\frac{17}{7}$

Ahora el radio de la circunferencia es la distancia de alguno de los puntos al punto hallado:

$r=\sqrt{(2-3)^2+(-1-(-\frac{17}{7}))^2}=\sqrt{1+(\frac{10}{7})^2}=\sqrt{\frac{149}{49}}$

Con lo que la circunferencia queda:

$(x-3)^2+(y+\frac{17}{7})^2=\frac{149}{49}$

7) Si la circunferencia es tangente a 3x-4y-1=0, en el punto (3,2), un segmento de longitud 5 normal a la recta en ese punto nos da el centro. El vector normal a la recta es (3,-4) y este es justamente de módulo 5. Los centros resultan de trasladar ese vector y su opuesto al punto (3,2):

(3,2)+(3,-4)=(6,-2)

(3,2)-(3,-4)=(0,6)

Con lo que las circunferencias son:

$(x-6)^2+(y+2)^2=25\\x^2+(y-6)^2=25$

8) Si una circunferencia es tangente a otra en un punto, quiere decir que el segmento que une a los centros pasa por el punto de contacto. La ecuación canónica de una circunferencia es:

$x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-r^2=0$

Con lo que el centro es C(2,-1), de aquí al punto 6,5 puedo hallar el vector (6-2,5-(-1))=(4,6). O también (2,3) el  cual tiene módulo $\sqrt{13}$. Puedo trasladar el origen de ese vector y el de su opuesto al punto (6,5) para obtener los centros de las dos circunferencias:

$(6,5)+(2,3)=(8,8)\\(6,5)-(2,3)=(4,2)$

Y las circunferencias quedan:

$(x-8)^2+(y-8)^2=13\\(x-4)^2+(y-2)^2=13$