Question

1. Una elipse con centro en el origen tiene uno de sus vértices en el punto V(5,0) y uno

de sus focos en el punto F(3,0). Determina lo siguiente:

a) Las coordenadas del vértice y el foco restantes

b) Las coordenadas de los extremos del eje menor

c) Su excentricidad

d) La longitud de sus lados rectos

e) La ecuación de la elipse​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Answer 2

Si tenemos una elipse con centro en el origen y que tiene uno de sus vértices en el punto V(5,0) y uno de sus focos en el punto F(3,0), entonces:

• Las coordenadas de del vértice y el foco restante son (-5,0) y (-3,0) respectivamente.
• Las coordenadas de los extremos del eje menor son (0,4) y (0,-4).
• La excentricidad es 3/5
• Longitud de sus lados rectos es 32/5
• La ecuación de la elipse es  x²/25+ y²/16=1

Ecuación de una elipse

Si el centro de la elipse es (h,k), con a>b y a²=b²+c² entonces la ecuación ordinaria de la elipse es:

• Si está situada horizontalmente (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
• Si está situada verticalmente: (x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1

Elipse con centro en (0,0), vértice (5,0) y foco (3,0)

• Coordenadas del vértice y foco restantes:

Como el centro es (0,0) entonces cada vértice y cada foco tendrán las mismas coordenadas pero con signos opuestos para la coordenada en x. Entonces: (-5,0) es la coordenada del otro vértice y (-3,0) es la coordenada de otro foco.

• Coordenadas de los extremos del eje menor:

Recordemos que la distancia que hay entre el centro y entre los extremos del eje menor es igual a b.

La distancia del centro al foco es c, entonces c = 3

La distancia del centro al vértice es a, así a =5

Como a²=b²+c², entonces:

b²=a²-c²

b²=5²-3²

b²=25-9

b²=16

b=4

Entonces las coordenadas de los extremos del eje menor son (0,4) y (0,-4).

• Su excentricidad es:

Recordemos que la fórmula de la excentricidad es e=c/a entonces:

e = 3/5

• Longitud de sus lados rectos:

Recordemos que el lado recto es el segmento de recta que pasa por el foco de manera paralela al eje menor y corta la elipse en dos puntos, La formula para calcular las coordenadas de estos dos puntos son (ver imagen adjunta):

P1(c, b²/a) y P2(c, b²/a)   ⇒  P1(3, 16/5) y P2(3, -16/5)

Así, la longitud de sus lados rectos es; 16/5+16/5 = 32/5  

• Ecuación de la elipse

Graficando los puntos que corresponden al centro, vértice y foco, podemos ver que es una elipse que está situada horizontalmente, así la ecuación de la elipse es:

(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1   ⇒   (x-0)²/5²+(y-0)²/4²=1   ⇒ x²/25+ y²/16=1

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