Question

1)      Un  vehículo  va en una carretera circular de  200m de radio. Parte del reposo, se mueve con movimiento circular uniformemente variado y a los 30s su rapidez es de 36km/h. Determine:

a)La aceleración tangencial en el instante t=30s

b)La aceleración normal o centrípeta en el instante t=30s

c)La aceleración en el instante t=30s

d)La rapidez angular a los 40s

Ayúdenme porfavor.​

Answer 1

a) La aceleración tangencial para un instante de tiempo de 30 segundos es de 1/3 m/s²

b) La aceleración centrípeta para un instante de tiempo de 30 segundos es de 1/2 m/s² o de 0.5 m/s²

c) La aceleración en el instante de tiempo 30 segundos es de 0.6 m/s²

d) La rapidez angular a los 40 segundos es de 1/15 rad/s  

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

Solución

Convertimos los kilómetros por hora a metros por segundo

$\boxed {\bold { V= 36 \ \frac{\not km}{\not h} \ . \ \left(\frac{1000 \ m }{1 \ \not km}\right) \ . \ \left(\frac{1 \ \not h }{3600 \ s}\right ) = \frac{36000}{3600} \ \frac{m}{s} = 10 \ \frac{m}{s} }}$

a) Cálculo de la aceleración tangencial para 30 segundos

Por la ecuación de MCUV

$\large\boxed {\bold { V_{f} = \ V_{0} \pm \ a_{T} . \ t }}$

Donde      

$\bold{V_{0} }\ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad tangencial inicial }$

$\bold{V_{f} }\ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad tangencial final }$

$\bold{t }\ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Tiempo }$

$\bold { a_{T} }\ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on Tangencial }$

Donde empleamos el signo + dado que la velocidad tangencial se incrementa

Como el vehículo parte del reposo su velocidad inicial es igual a cero $\bold{V_{0} = 0 }$

Por lo tanto la ecuación se reduce a:

$\large\boxed {\bold { V_{f} = a_{T} . \ t }}$

$\large\textsf{Donde despejamos }\bold { a_{T} }$

$\large\boxed {\bold { a_{T} = \frac{ V_{f} }{t} }}$

$\boxed {\bold { a_{T} = \frac{ 10 \ m/s }{ 30 \ s } }}$

$\large\boxed {\bold { a_{T} = \frac{ 1 }{ 3 } \ \frac{m}{s^{2} } }}$

b) Cálculo de la aceleración centrípeta para 30 segundos

La relación entre la aceleración centrípeta y la tangencial está dada por:

$\large\boxed {\bold { a_{C} = \frac{ V^{2} }{r} }}$

Donde      

$\bold { a_{C} }\ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on Centr\'ipeta }$

$\bold{V }\ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad tangencial }$

$\bold{r }\ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{radio }$

$\boxed {\bold { a_{C} = \frac{(10 \ m/s)^{2} }{200 \ m } }}$

$\boxed {\bold { a_{C} = \frac{100 \ m^{\not 2} /s^{2} }{200 \ \not m } }}$

$\large\boxed {\bold { a_{C} = \frac{1 }{2} \ \frac{m}{s^{2} } = 0.5 \ \frac{m}{s^{2} } }}$

c) Hallamos la aceleración para un instante de tiempo de 30 segundos

Calculamos la aceleración como la resultante de la aceleración tangencial -la cual produce el cambio en el módulo de la velocidad- y de la aceleración centrípeta - la cual es responsable de la dirección de la velocidad

.$\large\boxed {\bold {a = \sqrt{ a_{T} \ + a_{C} } }}$

$\boxed {\bold {a = \sqrt{ \left(\frac{1}{3} \ \frac{m}{s^{2} } \right) \ + \left(\frac{1}{2} \ \frac{m}{s^{2} } \right) } }}$

$\boxed {\bold {a = \sqrt{ \frac{1}{9} \ \frac{m^{2} }{s^{4} } \ + \frac{1}{4} \ \frac{m^2}{s^{4} } } }}$

$\boxed {\bold {a = \sqrt{ \frac{4}{36} \ \frac{m^{2} }{s^{4} } \ + \frac{9}{36} \ \frac{m^2}{s^{4} } } }}$

$\boxed {\bold {a = \sqrt{ \frac{13}{36} \ \frac{m^{2} }{s^{4} } } }}$

$\boxed {\bold {a = \sqrt{ \frac{13}{36} } \ \frac{m}{s^{2} } = \frac{ \sqrt{13} }{6} \ \frac{m}{s^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold {a = 0.6 \ \frac{m}{s^{2} } }}$      

d) Hallamos la rapidez angular para 40 segundos

Debemos hallar antes la aceleración angular      

La aceleración angular se expresa en radianes/segundo² (rad/s²)

La relación de la aceleración angular con la aceleración tangencial está dada por :

$\large\boxed {\bold { a_{T} = \alpha \ . \ r }}$

Donde

$\bold { a_{T} }\ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on Tangencial }$

$\bold { \alpha } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on angular }$

$\bold{r }\ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{radio }$

$\large\textsf{Donde despejamos }\bold {\alpha }$

$\large\boxed {\bold {\alpha = \frac{ a_{T} }{r} }}$

$\large\boxed {\bold {\alpha = \frac{ \frac{1}{3} }{200 } \frac{ \frac{\not m}{s^{2} } }{\not m} }}$

$\boxed {\bold {\alpha = \frac{1}{3} \ . \ \frac{1}{200} \ \frac{rad}{s^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold {\alpha = \ \frac{1}{600} \ \frac{rad}{s^{2} } }}$

La velocidad angular está dada por:

$\large\boxed{\bold{\omega=\alpha \ . \ t}}$

Donde

$\bold { \omega } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad angular }$

$\bold { \alpha } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on angular }$

$\bold{t }\ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Tiempo }$

$\large\boxed{\bold{\omega=\alpha \ . \ t}}$

$\boxed{\bold{\omega= \frac{1}{600} \ \frac{rad}{s^{\not 2} } . \ 40 \not s }}$

$\large\boxed{\bold{\omega= \frac{1}{15} \ \frac{rad}{s } }}$