Question

1. Un niño está situado a 31 metros de la base de una torre, con un ángulo de elevación de 55o, halle la altura y la distancia de la parte más alta de la torre a los pies del niño.

Answer 1

La altura de la torre es de aproximadamente 44.27 metros

La distancia desde la parte mas alta de la torre hasta los pies del niño es de aproximadamente 54.05 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre, el lado AC (b) que representa la distancia desde los pies del niño - donde ubicamos al niño en el punto A -hasta la base de la torre y el lado AB (c) que es la línea visual desde donde se ubica el niño en el punto A hasta la parte más alta de la torre con un ángulo de elevación de 55°, siendo a la vez la distancia desde la cima de la torre a los pies del niño ubicados en el punto A

Donde se pide hallar:

La altura de la torre

La distancia desde la parte más alta de la torre a los pies del niño

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde los pies del niño -ubicado en el punto A- hasta la base de la torre y de un ángulo de elevación de 55°

Distancia desde el niño en el punto A hasta la base de la torre = 31 metros

Ángulo de elevación = 55°

Debemos hallar la altura de la torre y la distancia desde la parte más alta de la torre a los pies del niño

Hallamos la altura de la torre

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde el niño que se ubica en el punto A hasta la base de la torre- y conocemos un ángulo de elevación de 55° y debemos hallar la altura de la torre, la cual es el cateto opuesto del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(55^o ) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(55^o ) = \frac{altura \ de \ la \ torre }{ distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A } }}$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre = distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A \ . \ tan(55^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre = 31 \ metros \ . \ tan(55^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre = 31 \ metros \ . \ 1.428148006742 }}$

$\boxed { \bold {altura \ de \ la \ torre \approx 44.27258 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre \approx 44.27 \ metros }}$

La altura de la torre es de aproximadamente 44.27 metros

Hallamos la distancia desde la parte más alta de la torre a los pies del niño

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde el niño que se ubica en el punto A hasta la base de la torre- y conocemos un ángulo de elevación de 55° y debemos hallar la distancia desde la cima de la torre a los pies del niño -el cual se ubica en el punto A-, siendo la hipotenusa del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica coseno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { cos(55^o) = \frac{cateto \ adyacente }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { cos(55^o) = \frac{ distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A }{ distancia \ alto \ de \ la \ torre \ a \ punto \ A } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ alto \ torre \ a \ punto \ A = \frac{ distancia \ base \ torre \ a \ punto \ A }{ cos(55^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ alto \ de \ la \ torre \ a \ punto \ A= \frac{ 31 \ metros }{ cos(55^o) } }}$

$\boxed { \bold {distancia \ alto \ de \ la \ torre \ a \ punto \ A = \frac{ 31 \ metros }{0.573576436351 } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ alto \ de \ la \ torre \ a \ punto \ A \approx 54.04685 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { distancia \ alto \ de \ la \ torre \ a \ punto \ A \approx 54.05 \ metros }}$

La distancia desde la parte mas alta de la torre hasta los pies del niño es de aproximadamente 54.05 metros