Question

1.- Un hombre a lo lejos observa la parte alta de una torre con un ángulo de elevación de 28°, camina hacia la torre 300m y cambiando su ángulo de elevación a 55°. Efectúa la representación de la situación y responde ¿qué altura tiene la torre? ¿Qué distancia hay entre la torre y el segundo punto de ubicación del hombre.
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Answer 1

La distancia entre la torre y el segundo punto de observación es de aproximadamente 177.94 metros

La altura h de la torre es de aproximadamente 254.13 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura de la torre, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta la base de la torre - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento DB: donde el observador caminó hacia la torre 300 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la proyección visual hasta la parte superior de la torre con un ángulo de elevación de 28°  

El triángulo rectángulo ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura de la torre, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador ubicado en el segundo punto de observación hasta la base de la torre luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 300 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hasta la cima de la torre con un ángulo de elevación de 55"

Donde se pide hallar

La altura h de la torre

Y la distancia entre la torre y el segundo punto de observación

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea de suelo hasta la base de la torre luego de haber caminado desde el primer punto de observación 300 metros, alcanzando el segundo punto de ubicación

Y dónde la incógnita "h" será la altura de la torre

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Dado que la altura "h" de la torre es el cateto opuesto a los ángulos y en donde las diferentes distancias hasta la torre son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

En donde la altura "h" de la torre es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre

Por tanto como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura de la torre y la distancia entre la torre y el segundo punto de ubicación del observador, emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar ambas incógnitas

Hallamos la distancia x - distancia entre la torre y el segundo punto de observación-

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (55^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(55^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (28^o) = \frac{h}{x +300} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 300) \ . \ tan (28^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(55^o)= (x + 300) \ . \ tan(28^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(55^o) = x \ . \ tan(28^o) +300 \ . \ tan(28^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(55^o) - x \ . \ tan(28^o) =300 \ . \ tan(28^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ (tan(55^o) - \ tan(28^o) )=300\ . \ tan(28^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 300 \ . \ tan(28^o) }{ tan(55^o) - \ tan(28^o) } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 300 \ . \ 0.531709431661 }{ 1.428148006742 -0.531709431661 } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 159.5128294983 }{ 0.896438575081 } }}$

$\boxed { \bold {x = 177.94061 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {x = 177.94 \ metros }}$

La distancia x es de aproximadamente 177.94 metros, por tanto ese es el valor de la distancia entre la torre y el segundo punto de ubicación

Hallamos la altura de la torre

Si

$\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(55^o)}}$

y

$\boxed { \bold {x = \frac{ 300 \ . \ tan(28^o) }{ tan(55^o) - \ tan(28^o) } }}$

Reemplazando

$\boxed { \bold {h = \frac{ 300 \ . \ tan(28^o) \ .\ tan(55^o) }{ tan(55^o)- \ tan(28^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 300 \ . \ 0.531709431661 \ .\ 1.428148006742 }{ 1.428148006742 -0.531709431661 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 227.80792949777365 }{ 0.896438575081 } }}$

$\boxed { \bold {h = 254.1255 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {h = 254.13\ metros }}$

La altura h de la torre es de aproximadamente 254.13 metros    

Se adjunta gráfico que representa la situación