Question

1.- UN FUTBOLISTA PATEA LA PELOTA CON UNA VELOCIDAD DE 20 M/S Y UN ANGULO DE 40° CON
RESPECTO A LA HORIZONTAL. DETERMINA PARA LA PELOTA:
a) EL ALCANCE HORIZONTAL MAXIMO
b) EL TIEMPO TOTAL EN EL AIRE
c) LA ALTURA MAXIMA

Answer 1

a) El alcance máximo de la pelota es de 40.20 metros. b) El tiempo de vuelo de esta es de 2.62 segundos. c) La altura máxima que alcanza la pelota es de 8.43 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 40^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 400 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (80^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 400 \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{393.9231012048}{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =40.196234\ metros }}$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 40.2 \ metros }}$

El alcance máximo de la pelota es de 40.20 metros

b) Tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (20 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (40^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{25.71150438748 }{9.8 \ } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2.62362\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2.62\ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la pelota es de 2.62 segundos

c) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (40^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ ( 0.642787609687 )^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400 \ . \ 0.4131759111671271 }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 165.27036446685084 }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 8.43216\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =8.43\ metros }}$

La altura máxima que alcanza la pelota es de 8.43 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola