Question

1. Un fotón de rayos x con longitud de onda igual a 1800Å choca contra una partícula cuya masa es de 2.010−35, después del choque el fotón se detecta a un ángulo de 90° respecto de su trayectoria original. Haga el diagrama del choque y calcule:

a) Cantidad de movimiento de la partícula.

b) Ángulo de dispersión de la partícula.

Answer 1

La cantidad de movimiento de la partícula después del choque es de $3,064\times 10^{-27}kg\frac{m}{s}$ y su ángulo de dispersión es de 30,4°.

¿Cuál es la cantidad de movimiento de la partícula?

Para hallar la cantidad de movimiento resultante de la partícula vamos a asumir que el choque es totalmente elástico, o sea, no hay pérdida de energía y a tener en cuenta que la cantidad de movimiento del sistema se conserva antes y después del evento, entonces queda, si el fotón se desvía 90°:

$\frac{h}{\lambda}=mv.cos(\theta)\\\\\frac{h}{\lambda'}=mv.sen(\theta)\\\\\frac{hc}{\lambda}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{hc}{\lambda'}$

Con las dos primeras ecuaciones podemos aplicar la identidad pitagórica y en la segunda podemos multiplicar y dividir por la masa la energía cinética y queda:

$\frac{h^2}{\lambda^2}+\frac{h^2}{\lambda'^2}=m^2v^2(cos^2(\theta)+sen^2(\theta))\\\\\frac{h^2}{\lambda^2}+\frac{h^2}{\lambda'^2}=m^2v^2\\\\\frac{hc}{\lambda}=\frac{1}{2}\frac{m^2v^2}{m}+\frac{hc}{\lambda'}\\\\\frac{hc}{\lambda}=\frac{1}{2m}(\frac{h^2}{\lambda^2}+\frac{h^2}{\lambda'^2})+\frac{hc}{\lambda'}\\\\\frac{hc}{\lambda}-\frac{1}{2m}\frac{h^2}{\lambda^2}=\frac{1}{2m}\frac{h^2}{\lambda'^2}+\frac{hc}{\lambda'}$

Vamos a reemplazar valores para poder continuar:

$\frac{6,62\times 10^{-34}Js.3\times 10^8}{1,8\times 10^{-7}m}-\frac{1}{2.2\times 10^{-35}kg}\frac{(6,62\times 10^{-34}Js)^2}{(1,8\times 10^{-7}m)^2}=\frac{1}{2.2\times 10^{-35}kg}\frac{(6,62\times 10^{-34}Js)^2}{\lambda'^2}+\frac{6,62\times 10^{-34}Js.3\times 10^{8}\frac{m}{s}}{\lambda'}\\\\7,66\times 10^{-19}=\frac{1,096\times 10^{-32}}{\lambda'^2}+\frac{1,99\times 10^{-25}}{\lambda'}\\\\7,66\times 10^{-19}=\frac{1,096\times 10^{-32}+1,99\times 10^{-25}\lambda'}{\lambda'^2}$

$7,66\times 10^{-19}\lambda'^2=1,096\times 10^{-32}+1,99\times 10^{-25}\lambda'\\\\7,66\times 10^{-19}\lambda'^2-1,99\times 10^{-25}\lambda'-1,096\times 10^{-32}=0$

Para hallar la longitud de onda resolvemos la ecuación cuadrática:

$\lambda'=\frac{1,99\times 10^{-25}\ñ\sqrt{(-1,99\times 10^{-25})^2-4.7,66\times 10^{-19}.(-1,096\times 10^{-32})}}{2.7,66\times 10^{-19}}\\\\\lambda'=\frac{1,99\times 10^{-25}\ñ2,704\times 10^{-25}}{1,53\times 10^{-18}}\\\\\lambda'=3,064\times 10^{-7}m$

Entonces, la cantidad de movimiento con la que queda la partícula es:

$mv=\sqrt{(\frac{h}{\lambda})^2+(\frac{h}{\lambda'})^2}=\sqrt{(\frac{6,62\times 10^{-34}Js}{1,8\times 10^{-7}m})^2+(\frac{6,62\times 10^{-34}Js}{3,064\times 10^{-7}m})^2}\\\\mv=4,27\times 10^{-27}kg\frac{m}{s}$

¿Cuál es el ángulo de dispersión de la partícula?

Podemos usar la componente del momento de la partícula paralela a la dirección original del fotón para determinar el ángulo de dispersión que sufre:

$\frac{h}{\lambda}=mv.cos(\theta)\\\\\theta=cos^{-1}(\frac{h}{m.v.\lambda})=cos^{-1}(\frac{6,26\times 10^{-34}Js}{4,27\times 10^{-27}kg\frac{m}{s}.1,8\times 10^{-7}m})\\\\\theta=30,4\°$

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