Question

1.- Un ciclista efectúa los siguientes desplazamientos 600 m al oeste, 300m en dirección norte y finalmente 200m al este. Calcular a) ¿Cuál es la distancia total que recorre? b) Encuentra en forma grafica el desplazamiento resultante, y cuál es el valor del ángulo medido con respecto al oeste.

Answer 1

La distancia recorrida es de 1100 metros. El desplazamiento es de 500 metros. El ángulo de dirección con respecto al oeste se aproxima a 37°

Solución

Como en el enunciado se hace referencia a los puntos cardinales, ubicaremos a estos puntos en el plano.  

Representando el problema en el plano cartesiano.

Los puntos cardinales son referencias geográficas que se utilizan para ubicarnos en la Tierra. Estas referencias se definen en base al eje de rotación: el sur y norte apuntan hacia los polos geográficos, mientras que el este y oeste en direcciones perpendiculares a este eje.

Siendo en el plano cartesiano el eje X también llamado eje de la las abscisas representa la dirección este –oeste, y el eje Y llamado el eje de las ordenadas representa la dirección norte – sur

Donde tomamos donde el ciclista empezó a desplazarse como centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, se toma  el semieje negativo del eje X como la dirección Oeste, el semieje positivo del eje Y como la dirección Norte y el semieje positivo del eje X como la dirección Este

Distancia Recorrida

El ciclista parte del punto O(0,0) avanzando hacia el Oeste 600 metros, por lo tanto se desplaza hasta el punto A(-600,0), luego desde este punto desarrolla  un recorrido en dirección Norte recorriendo 300 metros hasta alcanzar el punto B(-600,300), desde donde luego avanza finalmente 200 metros al Este donde termina su trayectoria de distancia en el punto C(-400,300)    

Por tanto    

$\large \textsf{Desde el punto O al A recorre 600 metros en direcci\'on Oeste } }}$

$\large \textsf{Desde el punto A al B recorre 300 metros en direcci\'on Norte} }}$  

$\large \textsf{Desde el punto B al C recorre 200 metros en direcci\'on Este } }}$

Luego la distancia recorrida se reduce a una suma de distancias por cada tramo realizado

$\boxed{\bold { Distancia \ Recorrida =600 \ metros \ + 300 \ metros\ + 200 \ metros } }}$

$\large\boxed{\bold { Distancia \ Recorrida =1100 \ metros } }}$  

Desplazamiento Resultante

El desplazamiento está dado por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria.

$\large\textsf{ Donde el punto inicial est\'a dado por el origen de coordenadas:} } }}$

$\boxed{\bold { O (0,0) }}$

$\large\textsf{ Y donde el punto donde termina el trayecto est\'a dado por } }}\\\large\textsf{ el par ordenado:} } }}$

$\boxed{\bold { C (-400,300) }}$

Empleamos la fórmula de la distancia entre puntos para determinar el desplazamiento

$\boxed{ \bold { Desplazamiento = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Sustituimos los valores de los puntos en la fórmula de la distancia

$\boxed{ \bold { Desplazamiento = \sqrt{((-400) - 0 )^{2} +((300) -0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Desplazamiento = \sqrt{(-400) ^{2} +(300) ^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Desplazamiento = \sqrt{ 160000 + 90000 } } }$

$\boxed{ \bold { Desplazamiento = \sqrt{250000 } } }$

$\large\boxed{ \bold { Desplazamiento = 500 \ metros } }$

Hallando el ángulo con respecto al Oeste

Para hallar el ángulo buscado recurrimos a las razones trigonométricas habituales

Donde tomamos la razón trigonométrica seno,

Si el seno de un ángulo β se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

$\boxed{\bold { sen \beta = \frac{cateto \ opuesto }{hipotenusa }}}$

Donde consideramos como cateto opuesto a la distancia recorrida por el ciclista en dirección norte cuyo valor es de 300 metros. Y donde la hipotenusa es la magnitud del desplazamiento resultante de 500 metros

$\boxed{\bold { sen \beta = \frac{300 \ metros }{500 \ metros }}}$

Simplificamos

$\boxed{\bold { sen \beta = \frac{3 }{5 }}}$

Aplicamos la inversa del seno para halar el ángulo

$\boxed{\bold { \beta = arcsen \left( \frac{3 }{5 }\right) }}$

$\boxed{\bold { \beta \approx 36,87\° }}$

$\large\boxed{\bold { \beta \approx 37\° }}$

Se encuentra en el adjunto la resolución gráfica solicitada