Question

1. Si tenemos un cuadrado ABCD, cuyo lado mide 1, ¿cuánto mide la diagonal “d” de dicho cuadrado? Nota: para resolver esta actividad debes recordar el teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta que la diagonal es la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos que quedan formados. 2. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número encontrado en la actividad anterior? ¿Podrías expresarlo como una fracción? ¿Por qué?

Answer 1

Si tenemos un cuadrado ABCD, cuyo lado mide 1, ¿cuánto mide la diagonal “d” de dicho cuadrado?

El Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

$\boxed {h^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$

Donde:

h es la hipotenusa

c₁ es un cateto

c₂ es un cateto

Como es un cuadrado de lado 1 significa que ambos catetos miden 1 y tal y como pone en el enunciado la diagonal es la hipotenusa, por lo tanto:

${h^{2}=1^{2}+1^{2}$

${h^{2}=2$

$h=\sqrt{2}$

$h=1.414213562373095048801\approx1,41$

¿Cuántas cifras decimales tiene el número encontrado en la actividad anterior?

La raíz cuadrada de 2 tiene infinitas cifras decimales.

¿Podrías expresarlo como una fracción? ¿Por qué?

No se puede expresar como una fracción porque es un número irracional.

(Por si te hace falta la demostración de que $\sqrt{2}$ es un número irracional):

Demostrar que $\sqrt{2}$ es un número irracional es equivalente a demostrar que $\sqrt{2}$ no pertenece al conjunto de los números racionales, es decir, que no lo podemos escribir como una fracción.

¿Cómo se demuestra esto? Hacemos una demostración por reducción al absurdo, que consiste en suponer que $\sqrt{2}$ no es un número irracional y eso nos hará llegar a una contradicción, a algo absurdo.

Comencemos:

Si suponemos que $\sqrt{2}$ no es un número irracional entonces

$\sqrt{2} =\frac{a}{b}$

$a$ y $b$ son números naturales y $b\neq 0$

Suponer que es una fracción irreducible implica que el máximo común divisor entre a y b es 1 (la fracción ya se encuentra simplificada) o lo que es lo mismo que no tienen factores en común a excepción del 1, por lo que a y b son primos entre sí.

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad para quitar la raíz:

$(\sqrt{2})^{2} =\left(\frac{a}{b} \right)^{2}$

Aplicando las propiedades de las potencias:

$2=\frac{a^{2} }{b^{2} }$

Pasamos el numerado multiplicando al otro lado de la igualdad:

$2b^{2} =a^{2}$

Tenemos que  $2b^{2} =a^{2}$ entonces podemos afirmar que $a^{2}$ es un un múltiplo de 2 y en consecuencia lo es también a (un número par elevado al cuadrado es un número par, mientras que un número impar elevado al cuadrado es impar). Esto implica que $a=2n$,  siendo n un número natural. Si sustituimos el valor de a en la ecuación anterior nos queda:

$2b^{2} =(2n)^{2}$

$2b^{2} =4n^{2}$

Simplificamos entre 2 en ambos términos de la igualdad:

$b^{2} =2n^{2}$

De esta forma llegamos a la conclusión que  $b^{2}$ es igual a un múltiplo de 2 y por tanto $b$  también lo es. Podemos escribir entonces que  $b=2k$, siendo k un número natural.

Por lo tanto y como a y b son múltiplos de dos, tienen como factor en común al 2.

Esto contradice la suposición inicial de que es una fracción irreducible: hemos concluido que a y b son múltiplo de 2 y no pueden serlo, ya que partimos de que a y b son primos entre si. Por lo tanto hemos llegado a una conclusión "absurda" y esto es porque resulta absurdo suponer que raíz de 2 es un número racional.

En consecuencia raíz de 2 es un número irracional.