Question

1. Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma creciente, calcular el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Polinomios

$\textbf{Problema :}$

Si se sabe que el polinomio $R_{(x)} \equiv \pi x^{b+2} -5x^{b+a+7} -2x^{2a+c}$ es completo y ordenado en forma creciente, calcular el valor de $2abc$. Indica el grado del polinomio.

RESOLUCIÓN

Si el polinomio es ordenado con respecto a una variable en forma creciente, entonces necesariamente los exponentes de la variable aumentan desde el primer término contando de izquierda a derecha. Por ejemplo el polinomio $P_{(x)} \equiv x^{4} + x^{7} - x^{32}$  es ordenado en forma creciente, ya que sus exponentes van aumentando de izquierda a derecha hasta el último término.

Un polinomio de coeficientes no nulos es completo, cuando la variable aparece en todos sus términos con todos los exponentes naturales que van desde el cero (termino independiente) hasta el grado. Por ejemplo $P_{(x)} \equiv x^{2} + x +4$ es completo, el término independiente es $4x^{0}$. El polinomio $P_{(x)} \equiv x^{2} - x -4x^{3} +8$ también es completo, ya que el exponente de la variable va desde el cero, hasta el tres sin omitir el uno y el dos. Note que un polinomio completo de segundo grado tiene 3 términos y que un polinomio completo de tercer grado tiene cuatro términos, podemos concluir que un polinomio completo de enésimo grado tiene $n+1$ términos.

En consecuencia un polinomio que es completo y ordenado en forma creciente, a la vez, tiene la siguiente forma.

$\boxed{P_{(x)} \equiv a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \ldots + a_{n}x^{n}}$

Con este conjunto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones.

$b+2 = 0\ \to\ b= -2$

$b+a+7 = 1\ \to\ a= -4$

$2a+c = 2\ \to\ c=10$

$2abc = 2 \times -4 \times -2 \times 10 = 160$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El polinomio es de segundo grado y}\ 2abc = 160}$

Answer 2

Respuesta:

Problema :

Si se sabe que el polinomio R_{(x)} \equiv \pi x^{b+2} -5x^{b+a+7} -2x^{2a+c}R

(x)

≡πx

b+2

−5x

b+a+7

−2x

2a+c

es completo y ordenado en forma creciente, calcular el valor de 2abc2abc . Indica el grado del polinomio.

Explicación paso a paso:

b+2=0 → b=−2

b+a+7 = 1\ \to\ a= -4b+a+7=1 → a=−4

2a+c = 2\ \to\ c=102a+c=2 → c=10

2abc = 2 \times -4 \times -2 \times 10 = 1602abc=2×−4×−2×10=160