Question

1. Si la tensión en A es el doble que la tensión en la cuerda B, hallar la aceleración del sistema. Considere: tanƟ = 2. (g = 10 m/s2)

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

Primero que nada trabajemos el triangulo isosceles que se forma:

como se ve en la imagen t.jpg, si trabajamos uno de los triangulos rectangulos internos tenemos:

$\theta+\frac{\pi}{2}+\gamma=\pi\\\\\gamma=\pi-\frac{\pi}{2}-\theta\\\gamma=\frac{\pi}{2}-\theta$

Usando las formulas de suma de angulos para el seno y el coseno obtenemos:

$sen(\gamma)=sen(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos(\theta)\\cos(\gamma)=cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=sen(\theta)$

Utilizaremos estas identidades mas adelante. Ahora si, vamos a la fisica .. .

Las fuerzas que actuan sobre la masa son las dos tensiones y la gravedad, PERO como el sistema se mueve aceleradamente, aparece una fuerza sobre la masa con el sentido contrario al de la aceleracion del sistema, esta fuerza se suele llamar FUERZA FICTICIA. El diagrama de fuerzas se muestra en la imagen fuerzas.jpg. La suma de todas esas fuerzas debe ser CERO, por lo que obtenemos las siguientes ecuaciones:

EJE X

$ma-T_{a}cos\gamma-T_{b}cos\gamma =0$

EJE Y

$mg+T_{b}sen\gamma-T_{a}sen\gamma=0$

Sustitutendo las identidades para el seno y coseno obtenemos:$ma-T_{a}sen\theta-T_{b}sen\theta =0=>ma=(T_{a}+T_{b})=sen\theta$

$mg+T_{b}cos\theta-T_{a}cos\theta=0=>mg=(T_{a}-T_{b})cos\theta$

Dividiendo una Ec entre la otra, tenemos:

$\frac{ma}{mg}=\frac{(T_{a}+T_{b})}{(T_{a}-T_{b})}tan\theta$

Ahora usamos el enunciado del problema:

$tan\theta=2\\T_{a}=2T_{b}$

sustituyendo estas dos condiciones obtenemos:

$\frac{a}{g}=\frac{2(2T_{b}+T_{b})}{2T_{b}-T_{b}}=\frac{6T_{b}}{T_{b}}=6$

como el cociente debe dar 6 y la gravedad vale 10, la solucion es

$a=60$