Question

1. Sea la función real definida por
F(x)=√(2senx-1)+√senx

Donde Dom(f)⊂[0,2π]. Determina dicho dominio.





2. Sea la función:
F(x)=2senx+|senx|

Si x ∈〈π/6,2π〉. Halla el rango de dicha función.

Answer 1

En la primera función el dominio es $[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$ y el rango de la segunda función es $[-1,3]$

Explicación paso a paso:

1) La función va a estar definida siempre que los radicandos sean positivos, por lo que las condiciones del dominio son:

$2.sen(x)-1\geq 0\\sen(x)\geq 0$

La segunda condición se cumple para todos los $x\in [0,\pi]$. En cuanto a la primera condición tenemos:

$2.sen(x)-1\geq 0\\2.sen(x)\geq 1\\\\sen(x)\geq \frac{1}{2}\\\\\frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{5\pi}{6}$

El dominio de la función será la intersección entre los dos conjuntos. Como $[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\subset [0,\pi]$.

2) En este caso tenemos el dominio restringido al intervalo $[\frac{\pi}{6},2\pi]$, los dos términos tienen ceros en $x=\pi$ y $x=2\pi$. La función puede definirse como:

$f(x)=\left \{ {{2.sen(x)+sen(x), \frac{\pi}{6}\leq 0\leq \pi} \atop {2.sen(x)-sen(x), \pi\leq 0\leq 2\pi} \right.$

Con lo cual, en el lóbulo positivo el máximo es $2.sen(\frac{\pi}{2})+sen(\frac{\pi}{2})=3$ y el mínimo es  $2.sen(\pi)+sen(\pi)=0$. Mientras que en el lóbulo negativo el mínimo es $2.sen(\frac{3\pi}{2})-sen(\frac{3\pi}{2})=-2-(-1)=-1$

Con lo cual, el rango de la función es el intervalo [-1,3].