Question

1. Se va a cercar un terreno rectangular de 2700 metros cuadrados de área, usando una
malla para dividir el terreno por la mitad. El costo de la malla para dividirlo es de $12
dólares por metro lineal y el costo de la cerca lateral es de $18 dólares por metro lineal.
Obtener las dimensiones del terreno para que el costo del cercado y la malla sea
mínimo.
2
Hallar un numero en el intervalo to 11 tal que la diferencia entre el numero cu​

Answer 1

Respuesta a tu problema de Optimización:

⇒ las dimensiones que permiten minimizar los costos son 60mx45m

Explicación:

Para resolver el problema utilizaremos el criterio de "máximos y mínimos".

En este caso nos interesa conocer el valor que minimiza el coste de la malla  y la cerca, para ello nuestra función tiene que ser derivable en f'(x) y f''(x), además f''(x)>0. Entonces primero debemos de obtener una función que cumpla con esto.

Por una parte conocemos el valor del Área:

$A=b*h\\2700=b*h$      Ec.1

Y por otro lado la formula del perímetro del Rectángulo:

$P=2b+2h$

El problema nos dice que el costo de la maya debe ser mínimo, entonces multipliquemos este perímetro por los 18 dolares que cuesta el metro de malla, ademas consideraremos la altura, multiplicado por el costo de la malla para dividirla a la mitad:

$18*2b+18*2h+ 12h=Min\\36b+48h=Min$    Ec.2

Con esto, tenemos dos ecuaciones, ahora despejemos alguna variable de la Ec.1:

$\frac{2700}{h}=b$   Ec.3

Y ahora hay que sustituir la Ec.3 en la Ec.2:

$36(\frac{2700}{h})+48h=Min\\\frac{97'200}{h}+48h=Min\\48h+97'200h^{-1}=Min$

Procedemos a obtener la primera derivada de la función:

$f(x)=48h+97'200h^{-1}\\f'(x)=48-97'200h^{-2}$

igualamos la primera derivada a cero y obtenemos el valor de h:

$48-97'200h^{-2}=0\\48=\frac{97'200}{h^2} \\h^2=\frac{97'200}{48} \\h^2=2'025\\\sqrt{h^2}=\sqrt{2'025} \\h=45m$

Ahora, solo falta comprobar que el valor si sea un mínimo, para ello f''>0.

$f''(h)=194'400h^{-3}\\f''(45)=194'400(45)^{-3}\\f''(45)=2.1333$

con lo que comprobamos que este valor si es un mínimo.

Conocemos el valor de h, ahora hay que sustituir en la Ec.3 para saber el valor de "b":

$\frac{2700}{45}=b\\b=60$

Y con esto hemos obtenido las dimensiones que permiten que el costo de la malla y la cerca sean mínimos.

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