Question

1. Se selecciona al azar un comité de 3 personas a partir de 4 médicos y 2 enfermeras. Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el número de médicos en el comité. Calcule P (2 ≤ X ≤ 3).

Answer 1

La formula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es: $P(X=x)= \frac{comb(4,x)*comb(2,3-x)}{20}$ y la P (2 ≤ X ≤ 3) es 0.8

La distribución hipergeométrica es una distribución en estadística que determina suponiendo que tenemos una población de tamaño N donde hay una cantidad C de individuos que poseen una característica y tomamos de ella una muestra de tamaño "n", entonces la misma cuenta la probabilidad de que en dicha muestra tengamos "x" elementos con dicha característica

La función de probabilidad es:

$P(X=x)= \frac{comb(C,x)*comb(N-C,n-x)}{comb(N,n)}$

En este caso tenemos 6 individuos y tomamos 3 de ellos, donde la característica deseada es que sean medico, y hay 4 médicos, por lo tanto N=6 y n=3 y C= 4

$Comb(6,3) = \frac{6!}{3!*(6-3)!} = \frac{6*5*4*3!}{3!*3!} = \frac{6*5*4}{3*2*1}= \frac{120}{6}= 20$

$P(X=x)= \frac{comb(4,x)*comb(6-4,3-x)}{20}$

$P(X=x)= \frac{comb(4,x)*comb(2,3-x)}{20}$

Para calcular  P (2 ≤ x ≤ 3) es la probabilidad de que x sea igual a 2 mas la probabilidad de que sea igual a 3

• Probabilidad de que en el comite tengamos 2 médicos

$P(X=2)= \frac{comb(4,2)*comb(2,3-2)}{20}$

$P(X=2)= \frac{comb(4,2)*comb(2,1)}{20}$

$P(X=2)= \frac{\frac{4!}{2!*(4-2)!} *\frac{2!}{1!*(2-1)!}}{20}$

$P(X=2)= \frac{\frac{4*3*2!}{2!*2!}* \frac{2*1}{1!*1!}}{20}$

$P(X=2)= \frac{\frac{12}{2}* \frac{2}{1}}{20}$

$P(X=2)= \frac{6*2}{20}$

$P(X=2)= \frac{12}{20}=0.6$

• Ahora la probabilidad de que sean 3 doctores:

$P(X=3)= \frac{comb(4,3)*comb(2,3-3)}{20}$

$P(X=3)= \frac{comb(4,3)*comb(2,0)}{20}$

$P(X=3)= \frac{\frac{4!}{3!*(4-3)!} *\frac{2!}{0!*(2-0)!}}{20}$

$P(X=3)= \frac{\frac{4*3!}{3!*1!}* \frac{2!}{2!}}{20}$

$P(X=3)= \frac{4*1}{20}$

$P(X=3)= \frac{4}{20}=0.2$

Por lo tanto:

$P (2 \leq  X \leq  3) = P(X=2)+P(X=3) = 0.6+0.2 = 0.8$