Question

1.- Se lanzan tres dados no cargados, uno verde, uno azul y uno rojo. Calcular la probabillidad de que la suma de las cantidades de puntos en las caras superiores de los tres dados sea: a) igual a 12 b) menor o igual a ocho c) mayor que 9 pero menor que doce

Answer 1

La probabilidad de que la suma de las cantidades de puntos en las caras superiores de los tres dados sea: a) igual a 12 es 25/216, b) menor o igual a ocho es 11/36 y, c) mayor que 9 pero menor que doce es 1/4.

Explicación:  

Las combinaciones posibles de resultados de las caras superiores de los tres dados son:

Resultados 3 dados = 6³ = 216 = {(1,1,1),(1,1,2), …,(6,6,5),(6,6,6)}

Definimos la variable aleatoria  x  =  suma de puntos de las caras superiores de los 3 dados.

La distribución de probabilidades de la variable  x  es una correspondencia entre los valores que puede tomar  x  y la probabilidad de ocurrencia de ese valor, que no es más que la razón entre la cantidad de resultados de los dados con un valor de suma particular por la totalidad de resultados posibles de x.

$\begin {array}{r|l}\\\underline{x}&\underline{P(X=x)}\\3& \frac{1}{216}\\4& \frac{3}{216}\\5& \frac{6}{216}\\6& \frac{10}{216}\\ 7& \frac{15}{216}\\8& \frac{21}{216}\\9& \frac{25}{216}\\10& \frac{27}{216}\\11& \frac{27}{216}\\12& \frac{25}{216}\\13& \frac{21}{216}\\14& \frac{15}{216}\\15& \frac{10}{216}\\16& \frac{6}{216}\\17& \frac{3}{216}\\18& \frac{1}{216}\end {array}$

Calculemos la probabilidad de que la suma de las cantidades de puntos en las caras superiores de los tres dados sea:

a) igual a 12

Buscamos el valor correspondiente en la distribución de  x

$\bold{P(X=12)=\frac{25}{216}}$  

b) menor o igual a ocho

Buscamos y sumamos todas las probabilidades asociadas a valores de  x  entre 3 y 8, ambos inclusive, en la distribución de  x

$P(X \leq 8)= P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6)+ P(X=7)+ P(X=8) \qquad \Rightarrow$  

$P(X \leq 8)= \frac{1}{216}+\frac{3}{216}+\frac{6}{216}+\frac{10}{216}+\frac{15}{216}+\frac{21}{216} \qquad \Rightarrow$  

$\bold{ P(X \leq 8)= \frac{11}{36}}$  

c) mayor que 9 pero menor que doce

Buscamos y sumamos las probabilidades de    x    10    y    x  =  11    en la distribución de  x

$P(9<X<12)= P(X=10)+ P(X=11)= \frac{27}{216}+\frac{27}{216} \qquad \Rightarrow$  

$\bold{P(9<X<12)= \frac{1}{4}}$  

Answer 2

La probabilidad de que la suma de las cantidades de puntos en las caras superiores de los tres dados es: a) igual a 12 es 25/216, b) menor o igual a ocho es 55/216 y, c) mayor que 9 pero menor que doce es 1/4

Explicación:  

El espacio muestral de la suma de tres caras de tres dados diferentes, esta conformado por 216 elementos(6³= 216)

x:  suma de puntos de las caras superiores de los 3 dados.

  x:       fi:

  3        1

  4        3

  5        6

  6       10

  7        15

  8       21

  9       25

  10      27

  11       27

  12      25

  13      21

  14      15

  15      10

 16        6

  17       3

  18       1

Probabilidad = Numero de sucesos favorables / Numero de sucesos posibles

La probabilidad de que la suma de las cantidades de puntos en las caras superiores de los tres dados sea: a) igual a 12

P = 25/216

La probabilidad de que la suma de las cantidades de puntos en las caras superiores de los tres dados sea: b) menor o igual a ocho

P = (21+15+10+6+3+1)/216 = 55/216

La probabilidad de que la suma de las cantidades de puntos en las caras superiores de los tres dados sea:) mayor que 9 pero menor que doce

P ( 27+27)/216 = 54/216 = 1/4

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