Question

• 1. Resolver los siguientes ejercicios aplicando las leyes de Kepler:
A. Determinar el valor de la constante para los planetas: Mercurio, Saturno y Urano. B. Se descubre un nuevo planeta Haumea que se encuentra orbitando a 35UA del sol. Determinar el periodo orbital de este planeta.
C. Eris se dice que es un planeta enano y su periodo orbital es de 558 años, de acuerdo a las leyes de Kepler, ¿a que distancia se encuentra Eris del planeta Marte y del planeta Saturno?​

Answer 1

El valor de la constante de la tercera ley de Kepler para Mercurio, Saturno y Urano es $1\frac{a^2}{UA^3}$, el periodo de Haumea es de 207 años y la distancia media al Sol de Eris es de 67,8UA.

Como los planetas Mercurio, Saturno y Urano orbitan a la misma estrella, la constante de la tercera ley de Kepler para los tres es la misma, y se puede considerar igual a la de la Tierra. Con esa constante se puede calcular un parámetro teniendo el otro para cualquier cuerpo del Sistema Solar.

Constante para el Sistema Solar:

Tomando el periodo orbital T en años y el radio de la órbita 'a' en UA queda:

$k=\frac{T^2}{a^3}=\frac{(1yr)^2}{(1UA)^3}=1\frac{yr^2}{UA^3}$

Período de Haumea:

Si Haumea está a 35 UA del Sol, el periodo orbital de este cuerpo en años es:

$\frac{T^2}{a^3}=k\\\\T=\sqrt{k.a^3}=\sqrt{1\frac{yr^2}{UA^3}.(35UA)^3}\\\\T=207yr$

Radio orbital de Eris:

Si ahora el periodo orbital de Eris es de 558 años, usando la tercera ley de Kepler se puede calcular la distancia media al Sol:

$\frac{T^2}{a^3}=k\\\\a=\sqrt[3]{\frac{T^2}{k}}=\sqrt[3]{\frac{(558yr)^2}{1\frac{yr^2}{UA^3}}}\\\\a=67,8UA$