Matemáticas, pregunta formulada por camicalena, hace 1 año

1. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:
y´´+y=sec2x

2. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientes indeterminados:
y´´+3y´+2y=3x+1

3. Encontrar el operador diferencial que anule a:
a. X+3xye6x
b. (x3 - 2x)(x2 – 1)
c. xex


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Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
2
1) resolvamos la EDO homogénea
y''+y=0\\ 
r^2+1=0\iff r=\pm i\\ \\
y_h=C_1 \cos x+C_2\sin x

para resolver la ecuación y''+y=\sec 2x utilizamos la matriz Wronskiana

\left[\begin{matrix}
\cos x&\sin x\\
(\cos x)'&(\sin x)'
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
u_1'\\u_2'
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
0\\\sec 2x
\end{matrix}\right]\\ \\ \\
\left[\begin{matrix}
\cos x&\sin x\\
-\sin x&\cos x
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
u_1'\\u_2'
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
0\\\sec 2x
\end{matrix}\right]

Como la matriz ortonormal entonces
\left[\begin{matrix}
u_1'\\u_2'
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
\cos x&-\sin x\\
\sin x&\cos x
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
0\\\sec 2x
\end{matrix}\right]\\ \\ \\
\displaystyle
u'_1(x)=-\sin x\sec 2x\to u_1(x)=\int \dfrac{-\sin x}{2\cos^2 x-1}dx \\ \\
u_1(x)= \dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left(\dfrac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1}\right)\\ \\
u'_2(x)=\cos x \sec 2x\\ \\
u_2(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left(\dfrac{\sqrt{2}\sin x+1}{\sqrt{2}\sin x-1}\right)\\ \\

Por ende
y=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left(\dfrac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1}\right)\cos x+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left(\dfrac{\sqrt{2}\sin x+1}{\sqrt{2}\sin x-1}\right)\sin x+\cdots\\\\
\hspace*{7cm}+C_1\cos x +C_2\sin x




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