1. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:
y´´ +y=sec^2x
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8
resolvemos la EDO homogénea
Luego con ayuda del Wronskiano tenemos:
![\left[\begin{matrix}
\cos x & \sin x\\
-\cos x & \cos x
\end{matrix}
\right]\left[\begin{matrix}
u'\\
v'
\end{matrix}
\right]=\left[\begin{matrix}
0\\
\sec^2 x
\end{matrix}
\right]\\ \\
\displaystyle
u'(x)=-\sin x \sec^2 x\to u(x)=\int \dfrac{-\sin x}{\cos^2 x}dx\\ \\
u(x)=-\sec x\\ \\
v'(x)=\sec x\to v(x)=\int \sec x\, dx\\ \\
v(x)=\ln |\sec x+\tan x|\\ \\
\boxed{\boxed{y=-1+\sin x\,\ln |\sec x+\tan x|+C_1\cos x+C_2\sin x}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Ccos+x+%26amp%3B+%5Csin+x%5C%5C%0A-%5Ccos+x+%26amp%3B+%5Ccos+x%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Au%27%5C%5C%0Av%27%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A0%5C%5C%0A%5Csec%5E2+x%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cdisplaystyle%0Au%27%28x%29%3D-%5Csin+x+%5Csec%5E2+x%5Cto+u%28x%29%3D%5Cint+%5Cdfrac%7B-%5Csin+x%7D%7B%5Ccos%5E2+x%7Ddx%5C%5C+%5C%5C%0Au%28x%29%3D-%5Csec+x%5C%5C+%5C%5C%0Av%27%28x%29%3D%5Csec+x%5Cto+v%28x%29%3D%5Cint+%5Csec+x%5C%2C+dx%5C%5C+%5C%5C%0Av%28x%29%3D%5Cln+%7C%5Csec+x%2B%5Ctan+x%7C%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%5Cboxed%7By%3D-1%2B%5Csin+x%5C%2C%5Cln+%7C%5Csec+x%2B%5Ctan+x%7C%2BC_1%5Ccos+x%2BC_2%5Csin+x%7D%7D "\left[\begin{matrix}
\cos x & \sin x\\
-\cos x & \cos x
\end{matrix}
\right]\left[\begin{matrix}
u'\\
v'
\end{matrix}
\right]=\left[\begin{matrix}
0\\
\sec^2 x
\end{matrix}
\right]\\ \\
\displaystyle
u'(x)=-\sin x \sec^2 x\to u(x)=\int \dfrac{-\sin x}{\cos^2 x}dx\\ \\
u(x)=-\sec x\\ \\
v'(x)=\sec x\to v(x)=\int \sec x\, dx\\ \\
v(x)=\ln |\sec x+\tan x|\\ \\
\boxed{\boxed{y=-1+\sin x\,\ln |\sec x+\tan x|+C_1\cos x+C_2\sin x}}")
Luego con ayuda del Wronskiano tenemos:
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