1 ¿Qué se obtiene al integrar la derivada de una función?
2 ¿Qué condiciones deben cumplirse para poder utilizar un cambio de variable?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Las derivadas y las integrales como herramientas fundamentales del cálculo, nos permite modelar todos los aspectos de la naturaleza en las ciencias físicas.
La derivada de una función, se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática f(x) trazada en función de x. Pero su implicación para modelar la naturaleza tiene una mayor profundidad de lo que pueda suponer esta simple aplicación geométrica. Despues de todo nos podemos contemplar dibujando triángulos finitos para descubrir la pendiente, de modo que ¿por qué es tan importante la derivada?. Su importancia radica en el hecho de que muchas entidades físicas tales como la velocidad, la aceleración, la fuerza y así sucesivamente, se definen como la tasa instantánea de cambio de alguna otra cantidad. La derivada nos puede dar un valor instantáneo preciso de la tasa de cambio y nos conduce a modelar de forma precisa la cantidad deseada.
La integral de una función se puede interpretar geométricamente como el área bajo la curva de una función matemática f(x) trazada como una función de x. Nos podemos contemplar dibujando una gran número de bloques, para aproximarnos al área bajo una curva compleja, obteniendo una mejor respuesta dibujando un mayor número de bloques. La integral nos proporciona una manera matemática de dibujar un número infinito de bloques y conseguir una expresión analítica precisa del área bajo la curva. Esto es muy importante en la Geometría y profundamente importante en las ciencias físicas, donde las definiciones de muchas entidades físicas se pueden convertir en la forma matemática de un área bajo una curva. El área de un pequeño bloque bajo la curva, se puede considerar que es el producto del ancho del bloque multiplicado por la altura ponderada del bloque. Muchas propiedades de cuerpos continuos, depende de sumas ponderadas, que para ser exactas deben ser infinitas sumas ponderadas, lo cual constituye un problema hecho a medida para resolverse por la integral. Por ejemplo, para encontrar el centro de masa de un cuerpo continuo, se implica la ponderación de cada elemento de masa multiplicado por su distancia a un eje de rotación, un proceso para el cual si se quiere conseguir un valor preciso, se requiere a la integral. Un gran número de problemas físicos implican para sus soluciones a tales sumas infinitas, por lo que la integral es una herramienta esencial para el científico físico.