Question

1 Pregunta El volumen de un globo esférico
$(v = \frac{4}{3} \pi \: {r}^{3)}$
de caucho, se está inflando a razón de 10cm³/min. ¿La rapidez con la que está creciendo el radio en el instante en que el diámetro es 4cm, es? ​

Answer 1

Como se menciona en el problema el volumen del globo esférico es $\sf{V=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3}$. Vemos que el volumen y el radio cambian respecto al tiempo, entonces podemos expresarlo como $\sf{V(t) =\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r(t)^3}$ .

Nuestros datos son:

                $\begin{array}{cccccccccc}\sf{\dfrac{dV(t)}{dt}=10\ cm^3/min}&&&&&&&&\sf{D =4}\rightarrow \sf{r = 2}\end{array}$

Derivamos la función respecto al tiempo

                                      $\begin{array}{c}\sf{V(t) =\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r(t)^3}\\\\\sf{\dfrac{d}{dt}\big(V(t)\big) =\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r(t)^3\right)}\\\\\sf{\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\dfrac{d}{dt}\left(r(t)^3\right)}\\\\\sf{\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot(3\cdot r^2)\cdot \dfrac{dr(t)}{dt}}\end{array}$

Reemplazamos nuestros datos

                                       $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot(3\cdot r^2)\cdot \dfrac{dr(t)}{dt}}\\\\\sf{10=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot(3\cdot (2)^2)\cdot \dfrac{dr(t)}{dt}}\\\\\sf{\dfrac{dr(t)}{dt}=\dfrac{10\cdot 3}{4\cdot \pi \cdot 3\cdot 2^2}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\red{\sf{\dfrac{dr(t)}{dt}\approx 0.1989\ cm/min}}}}}\end{array}$

Rpta. La rapidez con la que crece el radio es aproximadamente 0.1989 cm/min.

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$