Question

1. Plantee y resuelva una ecuación diferencial de primer orden para hallar una función que pase por el punto del plano (0, −3), de manera que la pendiente de la recta tangente en cualquiera de sus puntos (, ) sea el doble de la ordenada en ese mismo punto. 2. En cada punto de una cierta curva, la pendiente de la recta tangente y la abscisa de ese punto son inversamente proporcionales. Si el punto (, 2) está sobre la curva entonces, plantee y resuelva una ecuación diferencial de primer orden para determinar cuál es la ecuación de esa curva y represéntela gráficamente.

Answer 1

La función del primer punto es $f(x)=3e^{2x}$ y la del segundo es una familia de curvas $f(x)=k.ln(x)+2$ donde k es la constante de proporcionalidad entre la abscisa y la pendiente de la recta tangente.

Explicación paso a paso:

1) La pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. Si tiene que ser siempre igual al doble de la ordenada de ese punto queda:

$y'=2y$

La cual podemos resolver por separación de variables:

$\frac{dy}{dx}=2y\\\\\frac{dy}{y}=2dx\\\\\int\limits^{}_{} {\frac{1}{y}} \, dy =\int\limits^{}_{} {2} \, dx \\\\ln(y)+C_1=2x+C_2\\\\ln(y)=2x+C\\\\y=e^{2x+C}=k.e^{2x}, k\in \Re$

Como tiene que pasar por (0,-3), reemplazamos esas coordenadas para hallar k:

$3=k.e^{2.0}\\\\k=3$

Y así queda $f(x)=3e^{2x}$

2) La derivada es igual a la pendiente de la recta tangente, por lo que podemos plantear la siguiente ecuación diferencial:

$y'=\frac{k}{x}$

Resolvemos por separación de  variables:

$\frac{dy}{dx}=\frac{k}{x}\\\\dy=k\frac{dx}{x}\\\\\int\limits^{}_{} {} \, dy =\int\limits^{}_{} {k.\frac{1}{x}} \, dx \\y+C_1=k.ln(x)+C_2\\\\y=k.ln(x)+C$

Si el punto (1,2) está sobre la curva hallamos los valores de k y C:

$2=k.ln(1)+C\\\\C=2$

La función que cumple con lo planteado es cualquier función de la familia $f(x)=k.ln(x)+2$

Adoptamos k=1 y graficamos una de las funciones.