Question

1 mole de gas ideal se expande a 2 bar de 1m3 a 3m3
. A este volumen, el gas continua su expansión (isoterma)hasta 4m3
. Determine el trabajo que se realiza cuando el gas se comprime adiabáticamente de 4m3a su estado inicial. Calcule también el trabajo total desarrollado por el ciclo.

Answer 1

Cuando el gas se comprime adiabáticamente realiza un trabajo de 1MJ, el trabajo total del gas es -428kJ lo que significa que absorve energía mecánica.

Explicación:

Analizando el ciclo, el gas se expande primero siguiendo una isobara, luego una isoterma que lo lleva a 4 metros cúbicos y luego se comprime adiabáticamente hasta su volumen inicial.

El trabajo de un proceso adiabático es:

$W=nR\frac{T_1-T_2}{1-\gamma}$

Debemos hallar el cambio de temperatura durante la isobara:

$P_1V_1=nRT_1\\P_1V_2=nRT_2\\\\\frac{nRT_1}{V_1}=\frac{nRT_2}{V_2}\\\\\frac{V_2}{V_1}=\frac{T_2}{T_1}\\\\\frac{3m^2}{1m^2}=\frac{T_2}{T_1}=>T_2=3T_1$

A su vez la temperatura a la que inicia el ciclo es:

$T_1=\frac{P_1V_1}{nR}=\frac{2bar.1m^3}{1mol.8,31\times 10^{-5}\frac{m^3bar}{mol.K}}\\\\T_1=24067K$

Reemplazando esto en la expresión del trabajo queda:

$W=nR\frac{T_1-3T_1}{1-\gamma}$

El gas se supone diatómico por lo que es $\gamma=1,4$, queda:

$W=nR\frac{-2T_1}{1-\gamma}\\\\W=1mol.8,31\frac{J}{mol.k}\frac{-2.24067}{1-1,4}\\\\W=1\times 10^{6}J=1MJ$

El trabajo total del ciclo es la suma de los trabajos de cada proceso:

$W=W_b+W_t-W_a$

El trabajo de la compresión adiabática se resta porque el gas se comprime para volver a su volumen inicial. El trabajo en la isobara Wb es:

$W=P(V_2-V_1)=2\times 10^{5}Pa.(3m^3-1m^3)\\\\W=4\times 10^{5}J=0,4MJ$

En la isoterma, el trabajo Wt es:

$W_t=nRT_2ln(\frac{V_3}{V_2})=1mol.8,31\frac{J}{mol.K}.72201K.ln(\frac{4m^3}{3m^3})\\\\W_t=172606J=0,172MJ$

El trabajo total queda:

$W_t=0,4MJ+0,172MJ-1MJ\\\\W_t=-0,428MJ=-428kJ$