1. MÉDICO DE LA SELECCIÓN PERUANA Durante su preparación del equipo Peruano para las eliminatorias Qatar 2022, un futbolista de la de la selección Peruana contrajo una infección. El médico que acompaña a la selección debía tener cuidado con el medicamento que recetaría; por ello estudió la bacteria. Así encontró que la resistencia de dicha bacteria a cierto antibiótico está dada por la función: R(x) = x² - 6x + 27, donde "x" es la dosis en miligramos de un antibiótico. 1) ¿Cuál será la dosis de antibiótico que hace mínima la resistencia de la bacteria? 2) ¿De cuánto será esa resistencia? 3) Realiza la gráfica que representa la ecuación.
Respuestas a la pregunta
Con una dosis de 3 unidades del antibiótico se logra la resistencia mínima de la bacteria, que es de 18 unidades de resistencia. La gráfica se muestra anexa.
Explicación paso a paso:
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de R.
R' = 2x - 6
R' = 0 ⇒ 2x - 6 = 0 ⇒ x = 3
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
R'' = 2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
R''(3) > 0 ⇒ x = 3 es un mínimo de la función R.
Cuarto, evaluamos la función en el valor mínimo de x y obtenemos el valor mínimo de R; es decir, el valor de la dosis del antibiótico que hace mínima la resistencia de la bacteria.
R(3) = (3)² - 6(3) + 27 = 18
Con una dosis de 3 unidades del antibiótico se logra la resistencia mínima de la bacteria, que es de 18 unidades de resistencia. La gráfica se muestra anexa.
