Question

1). Los puntajes obtenidos en el examen final de estadística ,en una Universidad se da continuación . ¡ ayudenme please !

Answer 1

La media de los puntajes finales es de 29,63 puntos., la mediana es de 28,13 puntos y la moda es de 28,43 puntos.

Explicación paso a paso:

1. Medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

La media es el promedio de los valores de una variable. Suma de los valores, en este caso las marcas de clase o punto medio del intervalo que representa cada clase (xi) multiplicadas por la frecuencia de clase (fi), dividida por el número de valores involucrados (n), en este caso la suma de frecuencias:

$\bold{\overline{x}~=~\dfrac{\Sigma(x_{i}\cdot f_{i})}{\Sigma(f_{i})}}$

$\bold{\overline{x}~=~\dfrac{(13)(12)+ (19)(22)+ (25)(20)+ (31)(23)+ (37)(19)+(43)(11)}{12+15+20+23+19+11}=\dfrac{2963}{100}~=~29,63}$

La media de los puntajes finales es de 29,63 puntos.

La mediana de un conjunto de n valores de una variable x ordenados en forma creciente, es el valor central del ordenamiento; es decir, es el valor de x para el cual la mitad de todos los valores de x son menores que el y la otra mitad es mayor que el.

Si los n valores de la variable x en la muestra están organizados en una tabla de frecuencias absolutas (fi); la mediana se calcula:

$\bold{Mediana~=~Md~=~L_{i}~+~[\dfrac{\dfrac{n}{2}~-~F_{i-1}}{f_{i}}]\cdot(I_{c})}$

Donde:

Li  =  Límite inferior de la clase i, donde está la mediana. La clase i es aquella donde se encuentra el valor medio del grupo de datos.

n  =  número total de valores de x involucrados.

fi  =  frecuencia absoluta de la clase i; es decir, de la clase donde se encuentra la mediana.

Fi – 1  = frecuencia absoluta acumulada de la clase previa a la clase i; es decir, frecuencia acumulada de todas las clases previas a la clase donde se encuentra la mediana.

Ic  =  intervalo de clase. (longitud del intervalo que abarca la clase)

En el caso estudio

$\bold{Mediana~=~Md~=~28~+~[\dfrac{\dfrac{100}{2}~-~47}{23}]\cdot(6) ~=~28,13}$

La mediana de los puntajes finales es de 28,13 puntos.

La moda es el o los valores más comunes entre un grupo de valores estudiados.

Si los n valores de la variable x en la muestra están organizados en una tabla de frecuencias absolutas (fi); la moda se calcula:

$\bold{Moda~=~Mo~=~L_{i}~+~[\dfrac{(f_{i}~-~f_{i-1})}{(f_{i}~-~f_{i-1})+(f_{i}~-~f_{i+1})}]\cdot(I_{c})}$

Donde:

Li  =  Límite inferior de la clase i, donde está la moda. La clase i es aquella con la frecuencia absoluta mayor del grupo de datos.

fi  =  frecuencia absoluta de la clase i; es decir, de la clase donde se encuentra la moda.

fi – 1  = frecuencia absoluta de la clase previa a la clase i; es decir, frecuencia absoluta de la clase previa a la clase donde se encuentra la moda.

fi + 1  = frecuencia absoluta de la clase siguiente a la clase i; es decir, frecuencia absoluta de la clase siguiente a la clase donde se encuentra la moda.

Ic  =  intervalo de clase. (longitud del intervalo que abarca la clase)

En el caso estudio

$\bold{Moda~=~Mo~=~28~+~[\dfrac{(23~-~20)}{(23~-~20)+(23~-~19)}]\cdot(6)}~=~28,43$

La moda de los puntajes finales es de 28,43 puntos.

2. Medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

$\bold{\overline{x}~=~\dfrac{(58,5)(3)+ (65,5)(11)+...+ (86,5)(12)+(93,5)(11)}{62}~=~78,71}$

La media de los puntajes del examen es de 78,71 puntos.

$\bold{Mediana~=~Md~=~76~+~[\dfrac{\dfrac{62}{2}~-~24}{15}]\cdot(7) ~=~79,27}$

La mediana de los puntajes del examen es de 79,27  puntos.

$\bold{Moda~=~Mo~=~76~+~[\dfrac{(15~-~10)}{(15~-~10)+(15~-~12)}]\cdot(7)}~=~80,38$  

La moda de los puntajes del examen es de 80,38 puntos.

3. Cuartiles 1 y 2 (mediana)

Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tercer cuartil. El segundo cuartil divide la distribución en dos mitades iguales; es decir, el segundo cuartil es la mediana del conjunto de datos.

Para datos agrupados los cuartiles se ubican de la siguiente manera:

$\bold{Cuartil~=~Q_{k}~=~L_{i}~+~[\dfrac{\dfrac{(k)\cdot(n)}{4}~-~F_{i-1}}{f_{i}}]\cdot(I_{c})}$

Donde:

Li  =  Límite inferior de la clase i; es decir, aquella donde se encuentra el cuartil k.

n  =  número total de valores involucrados.

fi  =  frecuencia absoluta de la clase i; es decir, de la clase donde se encuentra el cuartil k.

Fi – 1  = frecuencia absoluta acumulada de la clase previa a la clase i; es decir, frecuencia acumulada de todas las clases previas a la clase donde se encuentra el cuartil k.

Ic  =  intervalo de clase. (longitud del intervalo que abarca la clase)

Apliquemos la fórmula vista antes para calcular los cuartiles 1 y 2:  

$\bold{Q_{1}~=~26~+~[\dfrac{\dfrac{(1)\cdot(100)}{4}~-~25}{15}]\cdot(4)~=~26}$

El primer cuartil de los puntajes en la prueba diagnóstica es  26  puntos.

$\bold{Q_{2}~=~26~+~[\dfrac{\dfrac{(2)\cdot(100)}{4}~-~40}{17}]\cdot(4)~=~28,35}$  

El segundo cuartil de los puntajes en la prueba diagnóstica es  28,35  puntos.