1) Hállense las ecuaciones de las rectas perpendiculares que pasa por los puntos medios de los siguientes pares de puntos a) (-4, 2), (8, 7) c) (4,3), (-5, -1) d) (-10, 1), (-2,7)
Respuestas a la pregunta
Respuesta: a) 24x + 10y - 93 = 0
c) 18x + 8y + 1 = 0
d) 4x + 3y + 12 = 0
Explicación paso a paso:
a) El punto medio del segmento cuyos extremos son (-4,2) y (8,7) es
el punto de coordenadas M(X , Y).
X = (-4+8)/2 = 2
Y = (7+2)/2 = 9/2
El punto medio del segmento es (2,9/2).
La pendiente m del segmento es:
m = (7-2) /(8-(-4)) = 5/12
La pendiente de la recta perpendicular al segmento es m1. Entonces:
m1 . (5/12) = -1 ⇒ m1 = -1/(5/12) = -(12/5)
La ecuación de la perpendicular es y - y1 = m1 (x - x1) , donde (x1,y1) es el punto medio hallado.
La ecuación es y - (9/2) = -(12/5)[ x - 2].
Entonces, y = -(12/5)[ x - 2] + (9/2)
y = -(12/5)x + (24/5) + (9/2)
Al multiplicar por 10, resulta:
10y = -24x + 48 + 45
10y = -24x + 93
Al restar 10y en ambos miembros, se obtiene la ecuación general:
0 = -24x - 10y + 93
-24x - 10y + 93 = 0
24x + 10y - 93 = 0
c) El punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (4,3) y (-5, -1) es el punto de coordenadas M(X , Y).
X = (-5+4)/2 = -1/2
Y = (-1+3)/2 = 1
El punto medio del segmento es (-1/2 , 1)
La pendiente m del segmento es:
m = (-1 - 3)/(-5-4) = 4/9
La pendiente m1 de la recta perpendicular al segmento es tal que:
m1 . m = -1 ⇒ m1 = -1 /m = -1 /(4/9) = -9/4
La ecuación de la perpendicular pedida es y - y1 = m1(x - x1)
y - 1 = -(9/4)[ x - (-1/2)]
y - 1 = -(9/4)[ x + (1/2)]
y = -(9/4)[ x + (1/2)] + 1
y = -(9/4)x - (9/8) + (8/8)
y = -(9/4)x - (1/8)
Se multiplica la ecuación por 8 para eliminar los denominadores. Nos queda:
8y = -18x - 1
La ecuación general se obtiene al restar 8y en ambos miembros:
0 = -18x - 8y - 1
Finalmente, al multiplicar por -1, nos queda:
18x + 8y + 1 = 0
d) El punto medio del segmento cuyos extremos son (-10, 1) y (-2,7) es el punto de coordenadas M(X , Y).
X = (-2-10)/2 = -6
Y = (7 + 1)/2 = 4
El punto medio es (-6,4).
La pendiente m del segmento es :
m = (7-1) /(-2+10) = 6/8 = 3/4
La pendiente m1 de la recta perpendicular es tal que:
m1 . m = -1 ⇒ m1 = -1 /m = -1 /(3/4) = -4/3
La ecuación de la perpendicular pedida es y - y1 = m1(x - x1)
y - 4 = -(4/3)[x - (-6)]
y - 4 = -(4/3)[x + 6]
y = -(4/3)[x + 6] + 4
y = -(4/3)x - 8 + 4
y = -(4/3)x - 4
Se multiplica la ecuación por 3 para eliminar el denominador. Queda:
3y = -4x - 12
La ecuación general se obtiene al restar 3y en ambos miembros:
0 = -4x - 3y - 12
Finalmente, al multiplicar por -1, resulta:
4x + 3y + 12 = 0