Question

1. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) =x²-3x-10

Answer 1

Respuesta:

De crecimiento: {\left(-2, \displaystyle \frac{3}{2} \right) \cup (5, \infty)}

De decrecimiento: {(-\infty, -2) \cup \left( \displaystyle \frac{3}{2}, 5 \right)}

Explicación paso a paso:

Escribimos el valor absoluto como una función por partes

 

{f(x) = \left \{ \begin{array}{rl} x^2 - 3x - 10 & si \ x \leq -2 \\\\ -x^2 + 3x + 10 & si \ -2 < x < 5 \\\\ x^2 - 3x - 10 & si \ x \geq 5 \end{array} \right. }

 

Derivamos la función

 

{f'(x) = \left \{ \begin{array}{rl} 2x - 3 & si \ x < -2 \\\\ -2x + 3 & si \ -2 < x < 5 \\\\ 2x - 3 & si \ x > 5 \end{array} \right. }

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}. Realizamos para cada parte de la función

 

si {2x - 3 = 0} para {\{x | x < -2\}}, entonces {x = 3/2}, pero este valor no pertenece a {\{x | x < -2\}}; así {f'(x)} no tiene raíces en {\{x | x < -2\}}

 

si {-2x + 3 = 0} para {\{x | -2 < x < 5\}}, entonces {x = 3/2}, el cual pertenece a {\{x | x < -2\}}; así {f'(x)} tiene una raíz en {\{x | x < -2\}}

 

si {2x - 3 = 0} para {\{x | x > 5\}}, entonces {x = 3/2}, pero este valor no pertenece a {\{x | x > 5\}}; así {f'(x)} no tiene raíces en {\{x | x > 5\}}

 

Por otra parte en los puntos {x = -2} y {x = 5} la derivada no existe, para esto calculamos límites laterales para la derivada en estos puntos

 

{\begin{array}{rcl}f'(-2^-) & = & \lim_{x \to -2^-}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to -2^-}(2x - 3) \\\\ & = & -7 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(-2^+) & = & \lim_{x \to -2^+}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to -2^+}(-2x + 3) \\\\ & = & 7 \end{array}}

 

como las derivadas laterales no coinciden, entonces la derivada {f'(-2)} no existe. De igual manera realizamos el cálculo para {x = 5}

 

{\begin{array}{rcl}f'(5^-) & = & \lim_{x \to 5^-}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to 5^-}(-2x + 3) \\\\ & = & -7 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(5^+) & = & \lim_{x \to 5^+}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to 5^+}(2x - 3) \\\\ & = & 7 \end{array}}

 

como las derivadas laterales no coinciden, entonces la derivada {f'(5)} no existe.

 

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera y los puntos donde la derivada no existe. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

funciones crecientes y decrecientes 1

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, -2), (-2, 3/2), (3/2, 5) } y {(5, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

{\begin{array}{lcl} -3 \in (-\infty, -2) & \Longrightarrow & f'(-3) = 2(-3) - 3 < 0 \\\\ 0 \in \left(-2, \displaystyle \frac{3}{2} \right) & \Longrightarrow & f'(0) = -2(0) + 3 > 0 \\\\ 3 \in \left(\displaystyle \frac{3}{2}, 5 \right) & \Longrightarrow & f'(3) = -2(3) + 3 < 0 \\\\ 6 \in (5, \infty) & \Longrightarrow & f'(6) = 2(6) - 3 > 0 \end{array}}

 

funciones crecientes y decrecientes 2

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {\left(-2, \displaystyle \frac{3}{2} \right) \cup (5, \infty)}

De decrecimiento: {(-\infty, -2) \cup \left( \displaystyle \frac{3}{2}, 5 \right)}

 

funciones crecientes y decrecientes 3