Question

1. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta
≡ + 2 = 0 y pasa por los puntos P(4,3) y Q(O,1).

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,5) y B(4,6) y
cuyo centro está situado en la recta ≡ 2 + 3 − 8 = 0.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y concéntrica con
≡ 2 + 2 + 2 + 10 + 17 = 0

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(-3,-2), N(4,5) y
P(-2,5).

5. Calcular la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm. y es
concéntrica con ≡ 2 + 2 − 2 − 6 − 15 = 0.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con
≡ 2 + 2 − 4 + 2 + 1 = 0 y que es tangente a la recta = 3 + 4 − 17 = 0.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,4) y B(0,2) y es tangente
al eje de ordenadas

8. Calcular la ecuación de la recta tangente a la circunferencia ≡ 2 + 2 − 2 =
0 que pasa por el punto P(1,1).

9. Hallar la ecuación general de la recta tangente a la circunferencia de centro
C(3,1) en el punto (-1,2).

10.Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia
≡ ( − 3)
2 + ( − 1)
2 = 8 en el punto A(1,-1).

Answer 1

Al resolver cada problema planteado se obtiene:

1. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta

R: x + 2y = 0 y pasa por los puntos P(4,3) y Q(O,1).

La ecuación de una circunferencia esta descrita:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Evaluar los puntos que pertenecen a la circunferencia:

• (4 - a)² + (3 - b)² = r²
• (0 - a)² + (1 - b)² = r²

igualar;

(4 - a)² + (3 - b)² = (0 - a)² + (1 - b)²

16 -8a + a² + 9 - 6b + b² = a² + 1 - 2b + b²

-8a -6b + 2b + 16 +9 - 1 = 0

-8a -4b + 24 = 0

La ecuación se satisface: x + 2y = 0

a + 2b = 0   ⇒ a = -2b

-8a -4b + 24 = 0  

-8(-2b) - 4b =- 24

16b - 4b = -24

12b = -24  

b = -24/12 ⇒ b = -2

a = -2(-2)

a = 4

Sustituir;

(0 - 4)² + (1 + 2)² = r²

r = √(16+9)

r = 5

Ec: (x - 4)² + (y + 2)² = 25

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,5) y B(4,6) y  cuyo centro está situado en la recta R: 2x + 3y − 8 = 0.

La ecuación de una circunferencia esta descrita:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Evaluar los puntos que pertenecen a la circunferencia:

• (5 - a)² + (5 - b)² = r²
• (4 - a)² + (6 - b)² = r²

igualar;

(5 - a)² + (5 - b)² = (4 - a)² + (6 - b)²

25 -10a + a² + 25 - 10b + b² = 16 - 8a + a² + 36 - 12b + b²

-10a + 8a -10b + 12b + 50 - 52 = 0

-2a + 2b -2 = 0

La ecuación se satisface: 2x + 3y − 8 = 0

2a + 3b - 8 = 0  

-2a + 2b -2 = 0

5b -10 =0

5b = 10

b = 10/5 ⇒ b = 2

2a + 3(2) = 8

2a = 8 -6}

a = 2/2 ⇒ a = 1

Sustituir;

(5 - 1)² + (5 - 2)² = r²

r = √(25)

r = 5

Ec: (x - 1)² + (y - 2)² = 25

3. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y concéntrica con

C: 2x² + 2y² + 2x + 10y + 17 = 0.

Multiplicar 1/2;

x² + y² + x + 5y + 17/2 = 0  

Completar cuadrados

(a + b)² = a² + 2ab + b²

x² + x + 1/4 = (x+ 1/2)²

y² + 5y + 25/4 = (y+5/2)²

Sumar 1/2 y 5/2 a ambos lados;

x² + x + 1/4 + y² + 5y + 25/4 =- 17/2 + 1/4 + 25/4

(x+ 1/2)² + (y+5/2)² = -2

Centro (-1/2, -5/2)

Ec: (x + 1/2)² + (y + 5/2)² = 16

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(-3,-2), N(4,5) y  P(-2,5).

La ecuación de una circunferencia esta descrita:

x² + y² + cx + dy + e = 0

Evaluar los puntos para construir un sistema de ecuaciones;

M(-3,-2)

(-3)² + (-2)² + c(-3) + d(-2) + e = 0

-3c - 2d + e = - 13

N(4,5)

(4)² + (5)² + c(4) + d(5) + e = 0

4c + 5d + e = - 41

P(-2,5)

(-2)² + (5)² + c(-2) + d(5) + e = 0

-2c + 5d + e = -29

4c + 5d + e = - 41

+2c - 5d - e = 29

6c=  -12

c = -12/6

c = -2

-3(-2) - 2d + e = - 13 ⇒ -2d + e = -19

4(-2) + 5d + e = - 41 ⇒ 5d + e = -33

e = -19 + 2d

5d -19 + 2d = -33

7d = -14

d = -14/7  ⇒ d = -2

e = -19 + 2(-2)

e = -23

Ecuación: x² + y² - 2x - 2y - 23 = 0

5. Calcular la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm. y es  concéntrica con C: 2x² + 2y² − 2x − 6y − 15 = 0.

2x² + 2y² − 2x − 6y − 15 = 0

Multiplicar 1/2;

x² + y² − x − 3y − 15/2 = 0

Completar cuadrados;

x² - x + 1/4 + y² - 3y + 9/4 = 15/2 + 1/4 + 9/4

(x-1/2)² + (y-3/2)² = 10

El diámetro es el doble del radios;

d = 2r

r = 6/2 ⇒ r  = 3 cm

Ec: (x-1/2)² + (y-3/2)² = 9

6. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con

C: 2x² + 2y² − 4x + 2y + 1 = 0 y que es tangente a la recta 3x + 4y − 17 = 0.

Multiplicar 1/2;

x² + y² − 2x + y + 1/2 = 0

Completar cuadrados;

x² - 2x + 1 + y² - y + 1/4 = -1/2 + 1 + 1/4

(x-1)² + (y+1/2)² = 3/4

Centro: (1, -1/2)

Aplicar distancia de un punto a una recta;

d = r = |Ax +By + C|/√(A² + B²)

r = |3(1) + 4(-1/2) − 17|/√(3² + 4²)

r = 16/5

Ecuación: (x-1)² + (y+1/2)² = 256/25

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,4) y B(0,2) y es tangente  al eje de ordenadas.

El centro de la circunferencia es la misma distancia de AC y BC;

C = √[(2-a)²+(4-b)²] = √[(0-a)²+(2-b)²]

(2-a)²+(4-b)² = (0-a)²+(2-b)²

4 - 4a + a² + 16 - 8b + b² = a² + 4 - 4b + b²

-4a -8b + 4b = -16

-4a - 4b = -16

Dividir entre -1/4;

a + b = 4

• a = 2
• b = 2

r = √[(0-2)²+(2-2)²]

r = 2

Ecuación: (x-2)² + (y-2)² = 4

8. Calcular la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

C: x² + y² − 2y =  0 que pasa por el punto P(1,1).

De forma gráfica se puede ver que la ecuación de la recta es: x =1

9. Hallar la ecuación general de la recta tangente a la circunferencia de centro  C(3,1) en el punto (-1,2).

Ecuación de la recta es la recta perpendicular a la recta que pasa por el centro y el punto.

y - y = m(x-x)

m = (2-1)/(-1-3)

m = -1/4 ⊥ m = 4

y - 2 = 4(x + 1)

y = 4x + 4 + 2

y = 4x + 6

Ec. recta: 4x - y + 6 = 0

10. Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia

C: (x − 3)²  + ( y − 1)² = 8 en el punto A(1,-1).

Ecuación de la recta es la recta perpendicular a la recta que pasa por el centro y el punto.

y - y = m(x-x)

m = (-1-1)/(1-3)

m = 1 ⊥ m = -1

y + 1 = -1(x - 1)

y = -x + 1  -1

y = -x

Ecuación de la recta: x + y = 0