Question

1. Hallar el área lateral, área total y volumen del prisma cuyas bases son
hexágonos regulares de 2 cm de lado, apotema de la base 1,73 cm y altura
4,7cm

Answer 1

El área lateral es de 56,4 centímetros cuadrados

El área total es de 77,16 centímetros cuadrados

El volumen es de 48,786 centímetros cúbicos

Introducción

Dado que el enunciado no dice otra cosa consideramos al prisma regular.

Siendo el mismo un prisma hexagonal regular

El prisma hexagonal regular es aquel que tiene como bases dos hexágonos regulares. Siendo sus caras laterales seis rectángulos iguales.

Donde

Área de la base

El área de las bases se halla por medio de la fórmula para el área de un hexágono regular (Ab). En donde se multiplica por dos dado que el prisma tiene dos bases hexagonales, la inferior y la superior

Dado que la fórmula para calcular el área de un hexágono regular se obtiene empleando la fórmula para hallar el área de un polígono regular.

En donde se calcula como la media del producto del perímetro por su apotema

Cómo un hexágono tiene seis lados, luego simplificando

Se reduce a:

$\large\boxed{\bold { Area \ Base = 3 \ . L . \ ap }}$

La cual se multiplica por dos porque un prisma tiene dos bases

Área Lateral

El área lateral del prisma hexagonal se obtiene como el producto del perímetro de la base (Pb) por la altura (h) del mismo

Resultando en:

$\large\boxed{\bold { Area \ Lateral = 6 \ . \ L\ . \ h}}$

Donde si calculamos el área de la base y el área lateral del prisma y hacemos la sumatoria se obtiene el área total

$\large\boxed{\bold { Area \ Total = Area\ Lateral + 2 \ Area \ Base }}$

Considerando lo anterior se  se obtiene que el área total de un prisma hexagonal regular está dada por:

$\large\boxed{\bold { Area \ Total = 6 \ . \ L\ . (ap + h) }}$

Solución

Hallamos el área lateral

$\large\boxed{\bold { Area \ Lateral = 6 \ . \ L\ . \ h}}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed{\bold { Area \ Lateral = 6 \ . \ 2 \ cm \ . \ 4,7 \ cm }}$

$\boxed{\bold { Area \ Lateral = 12 \ cm \ . \ 4,7 \ cm }}$

$\large\boxed{\bold { Area \ Lateral = 56,4 \ cm^{2} }}$

El área lateral del prisma hexagonal es de 56,4 centímetros cuadrados

Hallamos el área total

Donde dado que hemos hallado el área lateral la resolveremos de dos maneras

a) Sumando el área de la base al área lateral

$\large\boxed{\bold { Area \ Total = Area\ Lateral + 2 \ Area \ Base }}$

Hallamos entonces el área de la base

$\large\boxed{\bold { Area \ Base = 3 \ . L . \ ap }}$

Donde la he puesto de este modo porque a veces se pide hallar una sola área de la base, digamos si nos piden calcular un prisma sin tapa

Sabiendo que para el caso del ejercicio debemos considerar dos bases hexagonales

Calculamos una base

$\large\boxed{\bold { Area \ Base = 3 \ . L . \ ap }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed{\bold { Area \ Base = 3 \ . \ 2\ cm . \ 1,73 \ cm }}$

$\large\boxed{\bold { Area \ Base = 10,38 \ cm^{2} }}$

Calculamos el área total

$\large\boxed{\bold { Area \ Total = Area\ Lateral + 2 \ Area \ Base }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed{\bold { Area \ Total = 56,4\ cm^{2} + 2 \ . \ 10,38\ cm^{2} }}$

$\boxed{\bold { Area \ Total = 56,4\ cm^{2} + 20,76 \ cm^{2} }}$

$\large\boxed{\bold { Area \ Total =77,16 \ cm^{2} }}$

El área total del prisma hexagonal es de 77,16 centímetros cuadrados

b) Cálculo del área total por fórmula directa

$\large\boxed{\bold { Area \ Total = 6 \ . \ L\ . (ap + h) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed{\bold { Area \ Total = 6 \ . \ 2 \ cm \ . (1,73 \ cm + 4,7 \ cm ) }}$

$\boxed{\bold { Area \ Total = 12 \ cm \ . \ 6,43 \ cm }}$

$\large\boxed{\bold { Area \ Total =77,16 \ cm^{2} }}$

El área total del prisma hexagonal es de 77,16 centímetros cuadrados

Habiendo obtenido el mismo resultado de las dos formas

Hallamos el volumen del prisma

El volumen de un prisma hexagonal es el producto del área del hexágono regular que conforma una de sus bases por la altura (h).

Teniendo

$\large\boxed{\bold { Volumen \ Prisma = 3 \ . \ L\ . \ ap \ . \ h}}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed{\bold { Volumen \ Prisma = 3 \ . \ 2 \ cm \ . \ 1,73 \ cm \ . \ 4,7 \ cm}}$

$\large\boxed{\bold { Volumen \ Prisma = 48,786 \ cm^{3} }}$

El volumen del prisma hexagonal es de 48,786 centímetros cúbicos

Answer 2

Respuesta:

si esta bien del compa excelente