Question

1. Hallar a.- los vertices b.- los focos. C.- La excentricidad. d. El latus rectum y e.- Las ecuaciones de las asintotas de la hiperbola siguiente 4x² - 45y² = 180
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Answer 1

Los elementos de la hipérbola        4x²  -  45y²  =  180

• a.- Vértices                  (-3√5, 0)              (3√5, 0)
• b.- Focos                      (-7, 0)                   (7, 0)
• c.- Excentricidad          e  =  7√5/15
• d.- Latus rectum           LR  =  8√5/15
• e.- Asíntotas                 3√5 y  -  2x  =  0                  3√5 y  +  2x  =  0

¿Cuál es la ecuación canónica de la hipérbola de eje real horizontal?

La ecuación canónica de una hipérbola de eje real horizontal es:

$\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{a^2}~-~\dfrac{(y~-~k)^2}{b^2}~=~1}$

donde:

• (h, k)    centro de la hipérbola
• a           distancia del centro a los vértices reales
• b           distancia del centro a los vértices imaginarios

Para expresar la hipérbola dada en la forma anterior dividimos entre  180:

$\bold{\dfrac{4x^2}{180}~-~\dfrac{45y^2}{180}~=~\dfrac{180}{180}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{x^2}{45}~-~\dfrac{y^2}{4}~=~1}$

De aquí que:                (h, k)  =  (0, 0)                a²  =  45                  b²  =  4

Hallar

a.- Vértices

Los vértices sobre el eje real se calculan por:        (h ± a, k)

a²  =  45         ⇒         a  =  3√5

(h - a, k)  =  (0 - 3√5, 0)  =  (-3√5, 0)                     (h + a, k)  =  (3√5, 0)

b.- Focos

Los focos sobre el eje real se calculan por:        (h ± c, k)

c²  =  a²  +  b²  =  45  +  4  =  49         ⇒         c  =  7

(h - c, k)  =  (0 - 7, 0)  =  (-7, 0)                    (h + c, k)  =  (7, 0)

c.- Excentricidad

La excentricidad se calcula por:        e  = c / a

e  =  7/3√5  =  7√5/15

d.- Latus rectum

El latus rectum viene dado por:            LR  =  2b²/a

LR  =  [(2)(4)]/(3√5)  =  8√5/15

e.-  Ecuaciones de las asíntotas

Las asíntotas son rectas de ecuación:            y  -  k  =   ±(b/a) (x  -  h)

y  -  0  =   +(2/3√5) (x  -  0)         ⇒         3√5 y  -  2x  =  0

y  -  0  =   -(2/3√5) (x  -  0)         ⇒         3√5 y  +  2x  =  0

Tarea relacionada:

Hipérbola                                       brainly.lat/tarea/64548908

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