Question

1. Entre los 80 empleados de cierta empresa, hay 50 mujeres y 30 hombres. Se sabe que de las 50 mujeres, 30 ganan $10,000 ó más al mes, de los hombres, que 20 ganan $10,000 o más al mes. La empresa desea formar un comité con 6 de sus empleados. Calcula las maneras distintas en que se puede formar el comité, si:
a) 4 de ellos son mujeres que ganan más de $10,000 o más al mes, y los otros 2 son hombres que ganan menos de $10,000 al menos.
b) Son del mismo sexo y ganan menos de $10,000 al mes.​

Answer 1

Caso a)

Comité formado por 4 mujeres que ganen más de 10000 y 2 hombres que ganen menos de 10000.

• Hay 30 mujeres que ganan 10000 o más.
• Hay 30-20 = 10 hombres que ganan menos de 10000

Para las mujeres son:

• COMBINACIONES DE 30 ELEMENTOS TOMADOS DE 4 EN 4

Se usa la fórmula correspondiente:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!(m-n)!}$

... donde "m" es el número total de elementos y "n" es la cantidad de elementos que se toman en cada combinación.

$C_{30}^4=\dfrac{30!}{4!(30-4)!}=\dfrac{30\times 29\times 28\times 27\times 26!}{4\times 3\times 2\times 26!}=\dfrac{657720}{24} =27.405\ maneras$

Para los hombres son:

• COMBINACIONES DE 10 ELEMENTOS TOMADOS DE 2 EN 2

Con la misma fórmula:

$C_{10}^2=\dfrac{10!}{2!(10-2)!}=\dfrac{10\times9\times8!}{2\times8!}=\dfrac{90}{2} =45\ maneras$

Calcular el nº de comités distintos se hace razonando que para cada manera de combinar las mujeres corresponderán todas las maneras de combinar a los hombres.

¿Y en qué se traduce eso? Pues en una simple multiplicación.

27405 × 45 = 1.233.225 comités se pueden formar.

Caso b)

Los 6 componentes del comité deben ser del mismo sexo y ganar menos de 10000 así que se tomarán por un lado a las mujeres que cumplan esa condición (50-30 = 20 mujeres) y por otro lado los hombres (30-20 = 10 hombres).

Usa la fórmula anterior.

Para las mujeres:

• COMBINACIONES DE 20 ELEMENTOS TOMADOS DE 6 EN 6

Para los hombres:

• COMBINACIONES DE 10 ELEMENTOS TOMADOS DE 6 EN 6

Y finalmente se suman los resultados.