Question

1)En una institucion educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero mas de 600. si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de10 en 10, de 12 en 12, siempre sobran 5, pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno, ¿Cuantos alumnos eran?

Answer 1

) Sea N= nº de estudiantes, N€ (600, 700)
N-5 es múltiplo de 6, 8, 10 y 12 --> N-5 es múltiplo del mcm(6, 8, 10, 12) = 2³·3·5= 120
N es múltiplo de 11

==> N= 120·k + 5 € (600, 700) con k€N
< --> N=120·5+ 5= 605 (que efectivamente es múltiplo de 11)

Hay 605 estudiantes

2) A= 12· 45^n = 2²·3· (3²)^n · 5^n = 2²· 3^(2n+1)· 5^n
B= 12^n· 45= (2²)^n · 3^n· 3²· 5 = 2^(2n) · 3^(n+2) ·5

==> mcm(A,B)= 2^(2n) · 3^(2n+1) ·5^n

nº divisores de mcm(A,B)= (2n+1)·(2n+2)·(n+1) =90 <--> (2n+1)·(n+1)² = 45 <--> n=2

Comprobación:
Para n=2 --> A= 12·45² = 2²·3^5 · 5² ; B=12²·45= 2^4· 3^4 · 5 ==> mcm= 2^4·3^5· 5²
nº divisores del mcm= 5·6·3= 90 ¡Si!

3) 4ºdía --> 18 hojas en blanco con 18= x - [x/3 +2] --> 18= 2x/3 - 2 --> x= 3/2·(18+2) = 30
3º día --> 30 hojas
2º día --> 3/2·(30+2)= 48
1º día --> 3/2· (48+2)= 75

Ha escrito 75-18= 57 páginas

Comprobación:
(1/3·75+ 2) + (1/3·48+2) + (1/3·30+2)= 27+ 18 + 12 = 57