1. En un triángulo isosceles AABC, los lados congruentes son AB y AC. BE y CD son bisec- trices. Demuestra que el segmento BE = CD. A E B C
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
DEFINICIÓN:
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo
que sus ángulos.
Si
ABC DEF
, entonces:
AB FD AC DE BC FE ; ; A D B F C E ; ;
Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa.
Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los
teoremas se da el siguiente postulado
POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO –
LADO (L – A – L)
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son
respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.
Si
AB DF BC FE B F ; ;
Entonces
ABC DEF
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que
se deduce fácilmente de lo demostrado antes.
TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR)
Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
AB DE BC EF ABC DEF ;
Congruencia de triángulos. 2
TEOREMA
En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS:
ABC
es isósceles con
CA CB
TESIS:
CAB CBA
RAZÓN AFIRMACIÓN
1. En
CA
se toma un punto D y en
CB
se
toma un punto E, tal que
CD CE
1. Postulado de construcción de segmentos
2. Trazamos
DB
y
AE 2. Dos puntos determinan un segmento
3.
CA CB 3. De hipótesis
4.
CD CE 4. De 1. Construcción.
5.
C C 5. Propiedad reflexiva
6.
CAE
CBD 6. L – A – L. De 3, 4, 5
7.
CAE CBD
7. De 6. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
8.
CD CE 8. De 1
9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos
10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9
11.
AD BE 11. De 10. La ley cancelativa
12.
CDB CEA DB AE ;
12. De 6. Partes correspondientes de
triángulos congruentes
13.
ABD EAB 13. De 11 y 12. L – A – L
14.
EAB DBA
14. De 13. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
15.
CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos.
NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son
congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes.
COROLARIO:
En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.
HIPÓTESIS:
ABC
es un triángulo equilátero
TESIS:
A B C
Congruencia de triángulos. 3
TEOREMA
En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y
pertenece a la mediatriz de la base.
HIPÓTESIS:
CD
es la bisectriz de
ACB ABC
es isósceles con
CA CB
A – D – B
TESIS:
CD
es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
1.
CA CB 1. De hipótesis.
2.
1 2 2. De hipótesis. Definición de bisectriz.
3.
CD CD 3. Propiedad reflexiva
4.
CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L
5.
AD DB
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
6. D punto medio de
AB 6. De 5. Definición de punto medio
7.
CD
es mediana 7. De 6. Definición de mediana
8.
CDA CDB
8. De 4, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180º 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par
lineal
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 10. Sustitución de 8 en 9.
11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 11. De 10. Propiedad de los Reales
12.
CD AB 12. De 11. Definición de perpendicularidad
13.
CD
es altura 13. De 12. Definición de altura
14.
CD
es mediatriz 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz
entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior.
Demuéstrelo.
TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A)
Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente
congruentes, entonces los triángulos son congruentes.
HIPÓTESIS:
A P AB PQ B Q ; ;
TESIS:
ABC PQR
Respuesta:
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