1. En un salón de clases de 50 niños y niñas, a 10 les gusta solo el helado de fresa y a 5 solo el helado de chocolate. Si a 20 niños no les gusta el helado ni de fresa ni de chocolate: ¿a cuántos niños les gustan los dos helados?, ¿a cuántos niños les gusta en total el helado de fresa?, ¿a cuántos el de chocolate?
Respuestas a la pregunta
a 15 niños les gusta los dos helados
a 25 niños les gusta el helado de fresa
a 20 niños les gusta el helado de chocolate
10+5+20=35 35-50=15
A 15 niños y niñas les gustan los dos helados, de fresa y chocolate.
Explicación paso a paso:
Definimos los conjuntos:
A = niños que les gusta helado de fresa
B = niños que les gusta helado de chocolate
Con los conjuntos A y B definidos, respondemos las interrogantes:
a) ¿A cuántos niños les gustan los dos helados?
Se pide el conjunto intersección de los conjuntos A y B. Para calcularlo vamos a partir de la expresión del conjunto unión:
A∪B = A + B - A∩B
En la fórmula anterior desconocemos todos los términos, pero sabemos que el conjunto complemento de la unión (niños que no les gusta el helado) contiene 20 niños, por lo que
Total niños = niños gusta algún helado + niños no gusta helados
50 = niños gusta algún helado + 20
niños gusta algún helado = 30 niños
Además se sabe que de esos 30 niños a 10 les gusta solo fresa y a 5 les gusta solo chocolate, por tanto, hay 15 niños a los que les gustan los dos helados.
Volviendo a la fórmula, hay una forma alternativa para escribirla, partiendo de los conjuntos diferencia:
A - B = A - A∩B
B - A = B - A∩B
A∪B = (A - B) + A∩B + (B - A) + A∩B - A∩B
A∪B = (A - B) + (B - A) + A∩B
Sustituyendo los valores conocidos
30 = 10 + 5 + A∩B
A∩B = 30 - 15 = 15
A 15 niños y niñas les gustan los dos helados, de fresa y chocolate.
b) ¿A cuántos niños les gusta en total el helado de fresa?
Conociendo los conjuntos diferencia e intersección, es relativamente fácil conocer el conjunto A.
A = (A - B) + A∩B
A = 10 + 15 = 25
Hay 25 niños y niñas que les gusta el helado de fresa.
c) ¿A cuántos el de chocolate?
B = (B - A) + A∩B
B = 5 + 15 = 20
Hay 20 niños y niñas que les gusta el helado de chocolate.
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