Question

1. En la figura, arco DE = 39º, arco FH = 45º. Encuentra el ángulo x.
2. Según la figura, ¿cuáles son los valores de los ángulos α y β?
3. En la figura el valor de los ángulos, α, β son respectivamente
4. En la figura, arco GH=146º; arco EF=31º, ¿cuál es el valor del ángulo α ?
5. En la figura, AB es diámetro, si ángulo α=23° , ¿cuál es el valor del ángulo β?

Answer 1

En cada una de las figuras basadas en circunferencias, ángulos centrales y ángulos inscriptos tenemos:

1. El ángulo 'x' es de 138°.
2. Los ángulos faltantes son $\alpha=112\°, \beta=67\°$.
3. Los ángulos son $\alpha=116\°, \beta=58\°$.
4. El ángulo externo es $\alpha=57,5\°$.
5. El ángulo central es $\beta=46\°$

Cálculo del ángulo X en la circunferencia.

En la circunferencia del punto 1 podemos trazar la cuerda FE, que cierra el triángulo FIE, donde 'I' es el punto donde se cruzan las dos cuerdas originales. Entonces EFD es el ángulo inscripto del arco DE, cuyo ángulo central es de 39°:

$EFD=\frac{39\°}{2}=19,5\°$

Y FEH es el ángulo inscripto del arco FH cuyo ángulo central es de 45°:

$FEH=\frac{45\°}{2}=22,5\°$

Y por último, en el triángulo FIE aplicamos el teorema de los ángulos internos para hallar 'x':

$FEH+EFD+x=180\°\\x=180\°-FEH-FIE=180\°-22,5\°-19,5\°=138\°$

Ángulos faltantes en el cuadrilátero inscripto (punto 2)

Si el ángulo de 68° es ángulo inscripto de un arco de la circunferencia, su opuesto es ángulo inscripto del arco suplementario, por lo que queda:

$68\°+\alpha=180\°\\\\\alpha=180\°-68\°=112\°$

Lo mismo ocurre entre el ángulo de 113° y su opuesto, por lo que ambos son suplementarios:

$113\°+\beta=180\°\\\beta=180\°-113\°=67\°$

Ángulos en la circunferencia del punto 3

Si el ángulo de 58° es el ángulo inscripto de un arco de circunferencia, $\alpha$ es el ángulo central del mismo arco, por lo que queda:

$\alpha=2.58\°=116\°$

Como $\beta$ es también un ángulo inscripto del mismo arco, su medida es de 58°.

Ángulo externo en el punto 4:

Podemos trazar la cuerda HF para cerrar el triángulo HFL, tenemos, por un lado, el ángulo $\beta$, inscripto del segmento EF:

$\beta=\frac{31\°}{2}=15,5\°$

Y por el otro lado tenemos el ángulo $\gamma$, inscripto del arco GH, y su adyacente, el ángulo $\delta$:

$\gamma=\frac{146\°}{2}=73\°\\\\\delta=180\°-73\°=107\°$

Aplicando el teorema de los ángulos internos en el triángulo HFL queda:

$\alpha+\beta+\delta=180\°\\\alpha=180\°-\beta-\delta=180\°-15,5\°-107\°=57,5\°$

Resolución del triángulo inscripto del punto 5

Si AB es un diámetro y el ángulo $\alpha$ es inscripto de un arco, $\beta$ es el ángulo central del mismo arco, por lo que queda:

$\beta=2\alpha=2.23\°=46\°$