Question

1. El producto entre dos números naturales es 152. El doble de uno de ellos aumentado en tres unidades es igual al otro. Cuáles son los números?
2. El área de un rectángulo mide 300 cm2; si su base se aumenta en 3 cm y su altura en 5 cm, su perímetro será de 90 cm. Cuanto miden la base y la altura del rectángulo original?
Ayuda por favor!!! Con procedimeinto si, gracias.

Answer 1

Ecuaciones a partir de una situación problemática.

I) Leemos el enunciado,  sacamos los datos y presentamos las ecuaciones

El producto entre dos números naturales es 152.

x = número natural           y = un número natural

(número natural= número positivo y no es decimal)

 Producto es multiplicación

            $\bold{1)\qquad x.y=152}$

El doble de uno de ellos aumentado en tres unidades es igual al otro.

          $\bold{2)\qquad 2x+3=y}$

II) Reemplazamos en 1) el valor de "y" que está en 2)

  $\bold{x.y=152}\\\\\bold{x.(2x+3)=152} \\\\ \bold{2x^2+3x- 152=0} \\\\Aplicamos \ Bhaskara\ para \ hallar \ los\ valores \ de \ x\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad a=2\quad b=3\quad c=-152\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4(2)(-152)}}{2(2)}\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+1216}}{4}\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{-3\pm\sqrt{1225}}{4}\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{-3\pm35}{4}\\\\\\ x_(_1_)=\dfrac{-3+35}{4}\qquad\qquad x_(_2_)=\dfrac{-3-35}{4}$

$\\\\\\ x_(_1_)=\dfrac{32}{4}\qquad\qquad x_(_2_)=\dfrac{-38}{4}\\\\\\ x_(_1_)=\boxed{8}\qquad\qquad x_(_2_)=\dfrac{-19}{2}\to NO \ es \ natural$

Entonces el número natural es el 8

x= 8

y= 2x + 3

y= 2.8 + 3             y=19

Respuesta: los números son el 8 y el 19

2)

I) Datos del enunciado

Área del rectángulo = 300 cm²

Base = x     altura = y

Base  + 3 cm = x +3 cm       altura + 5 cm = y + 5 cm ⇒⇒ perímetro=90 cm

Área = base * altura   ⇒⇒Área = x * y

                    $\'Area\to \bold{300cm^2=x.y}$

Perímetro = 2base + 2altura ⇒⇒ Perímetro= (x+3 cm ) + 2 (y + 5 cm)

      $Per\'imetro\to \bold{90 \ cm = 2(x\ +\ 3\ cm) + 2(y\ +\ 5 \ cm)}$

II) Despejamos y reemplazamos

$\bold{90 \ cm = 2x\ cm +\ 6\ cm + 2y\ cm +\ 10 \ cm}\\\\ \bold{90 \ cm - 6 \ cm - 10 \ cm = 2x\ cm + 2y\ cm}\\\\ \bold{74 \ cm = 2(x\ cm + y\ cm)}\\\\ \bold{\frac{74\ cm}{2} = (x\ cm + y\ cm)}\\\\ \bold{37\ cm - x\ cm = y\ cm}$

$\bold{300\ cm^2= x\ cm * y \ cm}\\\\ \bold{300\ cm^2= x\ cm *( 37\ cm - x\ cm)} \\\\ \bold{300\ cm^2=37 x\ cm^2- x^2\ cm^2} \\\\\\ \bold{300-37x+x^2=0}\\\\ \bold{x.y=152}\\\\\bold{x.(2x+3)=152} \\\\ \bold{2x^2+3x- 152=0} \\\\Aplicamos \ Bhaskara\ para \ hallar \ los\ valores \ de \ x\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad a=1\quad b=-37\quad c=300\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{37\pm\sqrt{(-37)^2-4(1)(300)}}{2(1)}\\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{37\pm\sqrt{1369-1200}}{2}$

$x_(_1_y_2_)=\dfrac{37\pm\sqrt{169}}{2} \\\\\\ x_(_1_y_2_)=\dfrac{37\pm13}{2}\\\\\\ x_(_1_)=\dfrac{37+13}{2}\qquad\qquad x_(_2_)=\dfrac{37-13}{2}\\\\\\ x_(_1_)=\dfrac{50}{2}\qquad\qquad x_(_2_)=\dfrac{24}{2}\\\\\\ x_(_1_)=\boxed{25}\qquad\qquad x_(_2_)=\boxed{12}\\\\\\Entonces \\\\\boxed{Base= 25\ cm \qquad Altura= 12\ cm}$

Respuesta: la base del rectángulo original es de 25 cm y la altura es de 12 cm

Espero que te sirva, salu2!!!!