1. Determine si el conjunto S genera a R^3: S={(6,7,6),(3,2,-4),(1,-3,2)} 2. Determine si el conjunto S es linealmente dependiente. S={(1,-4,1),(6,3,2)}
Respuestas a la pregunta
El conjunto S ={(6,7,6), (3,2,-4), (1,-3,2)} genera a r³
El conjunto S = {(1,-4,1), (6,3,2)} No es linealmente independiente.
Explicación paso a paso:
Dados;
1. S ={(6,7,6), (3,2,-4), (1,-3,2)}
Para que el conjunto S genere el espacio r³, debe ser vectores linealmente independientes, los cuales se pueden expresar como una combinación lineal.
α₁(6,7,6)+α₂(3,2,-4)+α₃(1,-3,2) = (0,0,0)
6α₁ + 3α₂ + 6α₃ = 0
7α₁ + 2α₂ - 4α₃ = 0
6α₁ - 3α₂ + 2α₃ = 0
El determinante formado por la matiz de coeficientes del sistema si este da distinto de cero el sistema el linealmente independiente.
= 6[(2)(2)-(3)(-4)]-3[(7)(2)-(6)(-4)]+6[(7)(-3)-(6)(2)]
=6(16)-3(38)+6(-33)
= -216
Combinación lineal:
α₁(6,7,6)+α₂(3,2,-4)+α₃(1,-3,2) = (x,y,z)
El conjunto es linealmente independiente y se puede expresar como combinación lineal, por lo tanto genera a r³.
2. S = {(1,-4,1), (6,3,2)}
El conjunto solo posee dos vectores y esta en un espacio r³ por lo que no puede ser linealmente independiente.