Question

1. Determine el coseno del ángulo que forman los vectores (1,2,-1,4) y(3,-2,4,1)
2.Determine un vector unitario en la dirección (2,-1,1,3)
3. ¿El vector (1,2,3) es una combinación lineal de los vectores (1,3,2), (2,2,-1) y (3,7,0)?
4. Responda con falso o verdadero a cada una de las proposiciones siguientes. Justifique sus respuestas
a) En Rn, si u.v=0, entonces u=0 o v=0
b) En Rn, si u.v=u.w, entonces v=w
c) En Rn, si cu=0, entonces c=0 o u=0
d) En Rn, ||cu||=c||u|| e) En Rn, ||u+v||=||u||+||v||
f) Los vectores (1,0,1) y (-1,1,0) son ortogonales
g) En Rn, si ||u||=0, entonces u=0
h) En Rn, si u es ortogonal a v y w, entonces u es ortogonal a 2v+3w

Answer 1

1) El coseno del ángulo es $\frac{7}{2\sqrt{165}}$

2) El versor en la dirección de (2,-1,1,3) es $\bar{u}=(\frac{2}{\sqrt{15}},-\frac{1}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{15}},\frac{3}{\sqrt{15}})$

3) El vector (1,2,3) es combinación lineal de (1,3,2), (2,2,-1) y (3,7,0)

4) Las proposiciones c y d son verdaderas, las demás son falsas.

Explicación paso a paso:

1) Para hallar el coseno del ángulo que forman 2 vectores podemos aplicar la definición de producto escalar y despejarlo de allí:

$cos(\theta)=\frac{v_1.v_2}{||v_1||.||v_2||}=\frac{(1,2,-1,4).(3,-2,4,1)}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2+4^2}\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2+1^2}}\\\\cos(\theta)=\frac{3-4+4+4}{\sqrt{22}\sqrt{30}}=\frac{7}{2\sqrt{165}}$

2) El vector unitario en la dirección de un vector se puede hallar dividiendo cada coordenada por el módulo de ese vector:

$\bar{u}=\frac{(2,-1,1,3)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2+3^2}}=(\frac{2}{\sqrt{15}},-\frac{1}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{15}},\frac{3}{\sqrt{15}})$

3) Se puede plantear que efectivamente sea una combinación lineal de los 3 vectores:

(1,2,3)=a(1,3,2)+b(2,2,-1)+c(3,7,0)

El sistema de ecuaciones tiene que ser compatible, desglosándolo queda:

a+2b+3c=1

3a+2b+7c=2

2a-b=3

Hacemos la prueba del determinante, si es distinto de 0 es compatible determinado:

$det\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&7\\2&-1&0\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}2&-1&0\\3&2&7\\1&2&3\end{array}\right]=2(2.3-2.7)-(-1)(3.3-1.7)=16+2=18$

(1,2,3) es combinación lineal de los vectores propuestos.

4) a) La proposición es falsa, puesto que existe el contraejemplo (1,2).(-2,1)=0. Con lo que puede ser 0 el producto escalar entre 2 vectores distintos de 0.

b) La proposición es falsa puesto que desglosando el producto escalar queda:

$u.v=u.w\\||u||.||v||.cos(\theta)=||u||.||w||.cos(\sigma)\\\\||v||.cos(\theta)=||w||.cos(\sigma)$

Con lo que tanto v y w pueden tener distintos módulos como los angulos pueden ser distintos mientras cumpla esta última igualdad.

c) La proposición es verdadera, porque para que el vector sea nulo, tiene que ser nulo u o ser nulo el escalar c.

d) La proposición es verdadera porque el producto por un escalar es asociativo respecto del módulo:

$u=(x,y,z)=>c(x,y,z)=(cx,cy,cz)\\\\||cu||=\sqrt{c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2}=\sqrt{c^2(x^2+y^2+z^2)}=c\sqrt{x^2+y^2+z^2}=c||u||$

e) La proposición es falsa ya que el módulo de la suma no es asociativo:

$u=(x_1^2+y_1^2+z_1^2);v=(x_2^2+y_2^2+z_2^2)\\ \\||u+v||=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2+(z_1+z_2)^2}\\\\||u||+||v||=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_2^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}$

f) Para que dos vectores sean ortogonales el producto escalar tiene que ser 0:

(1,0,1).(-1,1,0)=-1+0+0=-1

La proposición es falsa, los vectores no son ortogonales.

Answer 2

Respuesta:

falta la respuesta de la g y la h