Question

1. Determinar el vector normal del plano M, siendo M: 4x – 2y – z – 5 = 0

2. Sean los planos M: 2x – 5y + 4z = 0 y P: 6x – 15y +12z = 5, determinar si los
planos son paralelos entre sí.

3. ) Sean los planos M: 3x – 5y + 2z – 4 = 0 y P: 4x +4y +4z +5= 0, determinar si los
planos son perpendiculares entre sí:

4.Un ingeniero quiere comprobar si los obreros cumplieron sus indicaciones al
construir unas paredes de un departamento en construcción, por lo que calcula el
ángulo entre una pared y el piso, que están determinados por los siguientes planos
P1: x – 2y +3z + 1 = 0 y P2: 3x +y – 7 = 0, ¿Cuál es el ángulo formado por la
pared y el piso?

Answer 1

Con respecto a las relaciones de ángulos entre planos, tenemos que:

1. El vector normal al plano $4x-2y-x-5=0$ es (4,-2,1).
2. Los planos son paralelos.
3. Los planos son perpendiculares.
4. La pared y el piso forman un ángulo de 85,15°.

Vector normal al plano (ecuación implícita)

Si tenemos el plano de ecuación implícita $4x-2y-x-5=0$, el vector normal al mismo será el formado por los coeficientes, (4,-2,-1).

Verificación de paralelismo de dos planos

Para que dos planos sean paralelos entre sí, los vectores asociados tienen que serlo. Para ello, el producto vectorial entre ellos tiene que ser nulo. Los vectores asociados a los planos son (2,-5,4) y (6,-15,12). Queda:

$det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-5&4\\6&-15&12\end{array}\right] =(-5.12-(-15).4)i-(2.12-6.4)j+(2(-15)-6(-5))k\\\\=(0,0,0)$

Como el producto vectorial es nulo, los planos son paralelos.

Verificación de perpendicularidad entre dos planos

Dos planos son perpendiculares si sus vectores asociados lo son entre sí. Para ello, el producto escalar entre ellos tiene que ser nulo. Los vectores asociados a los planos son (3,-5,2) y (4,4,4). La verificación queda:

$(3,-5,2).(4,4,4)=3.4-5.4+2.4=0$

Como el producto escalar es nulo, los planos son perpendiculares.

Ángulo entre dos planos

Mediante el producto escalar también se puede determinar el ángulo diedro entre dos planos. Los vectores asociados son (1,-2,3) y (3,1,0). Usando las dos expresiones del producto escalar queda:

$(1,-2,3).(3,1,0)=||1,-2,3||.||3,1,0||.cos(\theta)\\\\cos(\theta)=\frac{(1,-2,3).(3,1,0)}{||1,-2,3||.||3,1,0||}=\frac{1.3-2.1+3.0}{\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}.\sqrt{3^2+1^2+0^2}}\\\\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{14}\sqrt{10}}\\\\\theta=cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{140}})\\\\\theta=85,15\°$