Question

1. Desde un puente se dispara un proyectil con una velocidad de 30i m/s, si impacta en la superficie del río con un ángulo de 45°; determinar:
a) En cuánto tiempo impacta el proyectil.
b) La altura del puente respecto a la superficie del río.
c) La aceleración tangencial y centrípeta al momento del impacto.

Answer 1

El proyectil impacta en la superficie del río a los 3,06 segundos de su lanzamiento, luego de caer desde una altura de 45,9 metros, en el momento que impacta, su aceleración tangencial, al igual que su aceleración normal, es de 6,93 metros por segundo cuadrado.

Explicación:

Para resolver este problema se asume que en todo momento el proyectil mantiene la misma velocidad horizontal, y a medida que cae va aumentando la componente vertical de la velocidad. Como incide con un ángulo de 45° tenemos:

$tan(45\°)=\frac{v_y}{v_x}\\1=\frac{v_y}{v_x}\\v_x=v_y$

a) La ecuación horaria para la componente vertical de la velocidad, asumiendo que al inicio del movimiento esta es nula es:

$v=gt\\\\t=\frac{v}{g}$

Si la componente vertical de la velocidad al tocar el agua es de 30 metros por segundo debido a que llega a la misma con un ángulo de incidencia de 45°, el tiempo que tarda en llegar al agua es:

$t=\frac{30\frac{m}{s}}{9,81\frac{m}{s^2}}=3,06s$

b) El módulo de la velocidad con la que llega al río es:

$v_f=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(30\frac{m}{s})^2+(30\frac{m}{s})^2}\\\\v=42,4\frac{m}{s}$

Y la cantidad de energía potencial que perdió el proyectil es:

$mg\Delta z=\Delta E_c\\\\mg.\Delta z=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$

Y la altura de la cual cayó el proyectil es entonces:

$g.\Delta z=\frac{1}{2}v_f^2-\frac{1}{2}v_i^2\\\\\Delta z=\frac{v_f^2-v_i^2}{2g}=\frac{(42,4m/s)^2-(30m/s)^2}{2.9,81\frac{m}{s^2}}\\\\\Delta z=45,9m$

c) La aceleración neta en todo momento será la aceleración gravitatoria, la cual se puede partir en una aceleración tangencial, paralela a la trayectoria y la aceleración centrípeta, perpendicular a la misma. SI incide en el río con un ángulo de 45°, la aceleración tangencial es:

$a_t=g.cos(45\°)=6,93\frac{m}{s^2}$

Y la aceleración normal:

$a_n=g.sen(45\°)=6,93\frac{m}{s^2}$