Question

1. Demostrar que los vectores (2,1) y (3,5) forman una base de R2
2. Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el vector (41,45)forme parte del espacio vectorial formado por (2,1) y (3,5)y que nos indican el número de unidades que podemos fabricar de cada producto para que no existan excedentes.

Answer 1

Si son base, una combinación lineal entre ellos es nula si y sólo si los escalares son simultáneamente nulos

x (2, 1) + y (3, 5) = (0, 0)

Formamos el siguiente sistema de ecuaciones.

2 x + 3 y = 0
x + 5 y = 0

El determinante principal del sistema es 7, por lo tanto las ecuaciones se satisfacen solamente para x = y = 0Por lo tanto forman base.

Ahora: x (2, 1) + y (3, 5) = (41, 45)

Nos queda:

2 x + 3 y = 41
x + 5 y = 45

x = 45 - 5 y; reemplazamos:

2 (45 - 5 y) + 3 y = 41

90 - 10 y + 3 y = 41

- 7 y = 41 - 90 = - 49

De modo que y = 7; resulta x = 10

Saludos Herminio

Answer 2

Dos vectores forman una base en R^2 si son linealmente independientes. Para demostrarlo supongamos que no son linealmente independientes, esto quiere decir que uno es una combinación lineal del otro:

α(2,1) = (3,5)
(2α, α) = (3,5)

Entonces deben ser iguales entrada por entrada:

2α = 3
α = 5

Tenemos que α = 3/2 y α = 5, que es una contradicción, por lo tanto lo que supusimos al principio es incorrecto y así concluimos que son linealmente independientes y por lo tanto, forman una base. ▪️

Ahora, para encontrar la combinación lineal de (41,45):

λ(2,1) + β(3,5) = (41,45)
(2λ, λ) + (3β, 5β) = (41,45)
(2λ+3β, λ+5β) = (41,45)

Así,

2λ+3β = 41
λ+5β = 45

Multiplicando la segunda ecuación por –2 y sumando la primera obtenemos:

–7β = –49
β = 7

λ+35 = 45
λ = 10

Así,
(λ,β) = (10, 7)