Question

1. DEFINA LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN COMO PROCESO.
2. ¿QUÉ ES UNA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN?
3. ¿QUÉ ES UNA INTEGRAL INDEFINIDA?
4. EXPLICA CÓMO SE HALLA LA INTEGRAL DE UNA POTENCIA.
5. ¿POR QUÉ PARA HALLAR LA INTEGRAL DE UNA POTENCIA EL EXPONENTE DEBE SER DIFERENTE DE MENOS UNO?
6. ¿CUÁL ES LA INTEGRAL DE UNA CONSTANTE?
7. ¿CUÁL ES LA INTEGRAL DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN?
8. SI MEDAN LA FUNCIONES DE COSTO MARGINAL, INGRESO MARGINAL Y DE UTILIDAD MARGINAL, QUE DEBO HACER PARA CALCULAR LAS FUNCIONES DE COSTO, INGRESO Y UTILIDAD RESPECTIVAMENTE

Answer 1

Sea $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$, $F:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ es la primitiva de la función f, si

                                                   $F'(x) = f(x)$ ...........(1)

donde $x\in I$, (1) puede diferir en cierto conjunto $\Delta$ finito

Además notemos que f no tiene solo una primitiva, esto es 

                                                   $[F(x)+C]'=f(x)$........(2)

Donde C es una constante. (2) puede verificarse de (1) y la definición de la derivada de una suma de funciones

El conjunto de primitivas  $\left\{F(x)+C:C\in\mathbb R\right\}$ de la función $f$ se llama integral de la función $f$ y se escribe

                   $\int f(x)\, dx=\left\{F(x)+C:C\in\mathbb R\right\}$

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De la tabla de las derivadas se sabe que

$\frac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^{n}$

o mejor aún

$\frac{d}{dx}(x^{n+1}+C)=(n+1)x^{n}$

donde C es una constante real

y por definición $x^{n+1}+C$ es la primitiva de $(n+1)x^{n}$
es decir

$\int (n+1)x^{n} dx = x^{n+1}+C$

Por propiedad de las integrales, tenemos

$\displaystyle (n+1)\int x^{n} dx = x^{n+1}+C\\ \\ \text{Si }n+1\neq0\text{ entonces: }\\ \\ \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C_1$

En cuanto a la pregunta 5, el exponente de la potencia si puede ser -1. basta con dare un vistazo a la tabla de derivadas para deducir:

$\boxed{\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C}$

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Atención:

$\int 0\, dx = C$

donde C es una constante

$\int C dx = C \int dx = \boxed{Cx + C_1}$

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$\int{f'(x) \,dx}=f(x)+C$