Question

1.Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + 10x – 6y + 21 = 0, entonces la ecuación de la circunferencia concéntrica de radio doble del radio anterior es:
a) (x-5)² + (y+3)² =52
b) (x+5)² + (y-3)² =26
c) (x+5)² + (y-3)² =52

Answer 1

Explicación paso a paso:

Primero debemos transformar la ecuación x² + y² + 10x – 6y + 21 = 0 a la forma (x - h)² + (y - k)² = r², donde (h,k) son las coordenadas del centro de la circunferencia y r es el radio de la misma. Esto lo haremos por el método de completando cuadrados para tener dos Trinomios Cuadrados Perfectos, uno para absisas y otro para ordenadas. Entonces:

x² + y² + 10x – 6y + 21 = 0

x² + 10x + y²  – 6y = - 21

[x² + 10x + (10/2)²] + [y² - 6y + (-6/2)²] = - 21 + (10/2)² + (-6/2)²

(x² + 10x + 5²) + (y² - 6y + (-3)²) = -21 + 5² + (-3)²

(x + 5)² + (y - 3)² = -21 + 25 + 9

(x + 5)² + (y - 3)² = 13

Con esto deducimos que el centro está en C(-5, 3) y el radio es √13.

Ahora debemos encontrar la ecuación de la circunferencia concéntrica (mismo centro), pero con el doble del radio. Entonces llamaré al nuevo radio con la letra R:

R = 2r = 2√13

R² = (2√13)² = (4)(13)

R² = 52

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia quedaría:

(x + 5)² + (y - 3)² = R²

(x + 5)² + (y - 3)² = 52   ====> Solución: c)