Question

1. ¿Cuantas fracciones son propias e irreductible y tienen como denominador al 30? (Con procedimiento)

Answer 1

Sabemos que hay infinitos números primos, entonces habrá infinitas fracciones irreductibles con el numerador primo y el denominador resulta tan irrelevante que puede ser 30.

Sospecho que lo que se quiso preguntar es cuantos números primos hay entre el 1 y el 30 que indicarían las fracciones irreductibles con denominador 30 y numerador menor o igual al denominador. Como ahora dispongo de tiempo indico como sería el procedimiento que ciertamente es laborioso pero es sistemático y fácil de entender.

Primero vamos a determinar cuantos números entre 1 y 30 son reductibles.

factorizamos 30 y resulta =2*3*5

A= múltiplos de 2. 30/2 = 15
B= múltiplos de 3.  30/3 = 10
C= múltiplos de 5.  30/5 =  6
D= múltiplos de 6    30/6 = 5 que ya se cuentan en A y B luego se restarán
E= múltiplos de 10. 30/10=3 que ya se cuentan en A y C luego se restarán
F= múltiplos de 15. 30/15=2 que ya se cuentan en B y C luego se restarán
G= múltiplos de 30. 30/30=1

Ahora A + B + C - D - E - F + G = 15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 + 1 = 22

Luego hay 22 fracciones reducibles con denominador 30 y numerador menor o igual al denominador y consecuentemente habrá 8 fracciones irreductibles lo que significa que entre 1 y 30 hay  8 números primos + los primos que son factores del denominador , es decir 2 , 3 y 5. Luego queda demostrado que hay 11 números primos entre los números del 1 al 30 y este procedimiento se podría aplicar a cualquier denominador finito.

Y como son pocos voy a poner aquí la lista para que sirva de verificación
 de que el procedimiento ha sido correcto.

1/30  , 7/30 , 11/30 , 13/30 , 17/30 , 19/30 , 23/30 , 29/30

8 fracciones irreductibles con denominador 30 y numerador menor o igual al denominador.

porque hay que descontar las fracciones con numerador primo que sea divisor del denominador y eliminamos 2/30 , 3/30 y 5/30 que sí serán reductibles.
 
Espero haberme explicado bien  y que esto fuera precisamente lo que deseabas porque ya te digo al principio que el enunciado de tu pregunta se podía responder literalmente de manera mucho más breve, pero no tan entretenida.