Question

1. ¿Cuál es la velocidad de descarga del agua a través de un orificio circular de 4 mm
de diámetro, localizado a 6 m por debajo del nivel del líquido? Calcule el gasto.
2. Por un tubo horizontal de sección transversal variable circula agua. En un punto
donde la velocidad es 4 m /s la presión es 9,4 x 104 N/m2
. ¿Cuál es la presión en
otro punto donde la velocidad es 6 m/s? ¿Cuál es la velocidad en un punto donde
la presión es 2.6 x 104 N/m2
?
3. En un depósito abierto de paredes verticales, el agua alcanza una altura de 4 m.
Se hace un pequeño orificio 50 cm por debajo del nivel del agua. Calcular a qué
distancia medida sobre el pie del depósito alcanza el suelo, el chorro de agua que
sale del orificio. ¿A qué altura por encima del fondo debe hacerse un segundo
orificio para que el alcance horizontal sea el mismo del orificio anterior?

Answer 1

1. Para el primer planteamiento, contamos con los siguientes datos:

Patm: presión ambiente, 

Pdes: presión en el punto de salida, 

d: densidad del líquido, 

h: altura del nivel líquido 

v: velocidad de descarga

Estos datos son suficientes para aplicar la ecuación de Bernoulli, aplicada entre la superficie y el orificio de descarga

$\frac{Patm}{d}$ + g x h = $\frac{Pdes}{d}$ + $\frac{1}{2}$ x v²

Las presiones Patm y Pdes están igualadas, porque las dos lados del recipiente están en contacto con el ambiente. Se procede a calcular la velocidad de descarga (v):

g x h = $\frac{1}{2}$ x v²

Despejamos para calcular v:

v = $\sqrt{2 x g x h}$

v = $\sqrt{2 x 9,81 x 6}$

v = 10,85 m/s 

De aquí procedemos a calcular el gasto (G),

G = v x A

para lo que necesitamos calcular el área transversal del conducto (A), teniendo en cuenta que el diámetro (D) es igual a 4mm, o 0,04m :

A = π (D²/4)

A = 3,141516( 0,004²/4)

A = 0,00125664

Sustituyendo en la formula de Gasto:

G = 10,85 x 0,0000125660

G = 1,3634x10⁻⁴ m³/s = 0,13634 Lt/s

Por un tubo horizontal de sección transversal variable circula agua. En un punto donde la velocidad es 4 m/s la presión es 9,4 x 10⁴ N/m2. ¿Cuál es la presión en otro punto donde la velocidad es 6 m/s? ¿Cuál es la velocidad en un punto donde la presión es 2.6 x 10⁴ N/m2

 Aplicamos la ecuación de Bernoulli:

 p + $\frac{ρ.V²}{2}$ = po + $\frac{ρ.V0²}{2}$

Para calcular la presión en un punto donde la velocidad es 6m/s:

p = 9,4x10⁴ + 500(42 - 62) 

p = 8,40.10⁴ Pa 
 

Para calcular la velocidad (v₂) cuando la presión es de 2,6 x 10⁴ N/m2:

V₂ = Vo + √[2.(po-p₂)/ρ]

V₂  = $\sqrt{4 + (2 x (9,4-2,6) x \frac{1x10⁴/}{1000} )}$

V₂  = 15,7 m/s

La velocidad en el punto donde p = 2,6x10⁴N/m2 es 15,7 m/s

 

3a) Hay que tomar en cuenta que en el planteamiento el orificio se encuentra a 50 cm o 0,5 m de la superficie. Si el nivel de la superficie lo consideramos 0, la gravedad G se considera +

La fórmula para expresar energía potencial: 

Ep = mgh 

Y la fórmula para determinar energía cinética: 

Ec = $\frac{1}{2}$.m.v² 

Se igualan ambas fórmulas

1/2.m.V² = m.g.h 

v² = 2gh 

v = √(2gh)

lo que sería nuestra primera ecuación, equivalente a la velocidad de salida, la cual será la misma si el nivel de agua no se altera; cuando el agua empieza a fluir, el volumen acelerará por efecto de la gravedad

y = h + 1/2.g.t² 

Sabemos que el valor de  y = 4m, mientras que h = 0,5m, el valor del tiempo t será: 

4m = 0,5m + $\frac{1}{2}$.g.t² 

(3,5m).$\frac{2}{g}$ = t² 

t = √$\frac{7m}{g}$

t = 0,845 s 

Sustituyendo en la ecuación 1 que habíamos determinado, obtendremos el alcance(x)

x = V.t 

x = [√(2gh)].t 

x = 2,645m 

3b) ¿A qué altura por encima del fondo debe hacerse un segundo
orificio para que el alcance horizontal sea el mismo del orificio anterior?

Tomamos en cuenta la ecuación

y = h + $\frac{1}{2}$.gt²

(4m - h).2 = g.t²

(8m - 2h)/g = t²

t = √[$\frac{8m -2h}{g}$]

que sería la ecuación N° 2,para el cálculo del tiempo de caida 

Ya se conoce que el alcance está expresado: 

x = V.t 

Se debe multiplicar las ecuaciones 1 y 2, de tal forma que:

x = [√(2gh)].√[(8m-2h)/g] 

Y simplificada nos queda 

x = √[(2h).(8m-2h)] 

x = √(16m.h - 4h²) 

Se elimina la raíz cuadrada, elevando al cuadrado 

x² = (16m.h - 4h²) 

4h² - 16h + x² = 0 

Se requiere determinar h para x = 2,645m

4h² - 16h + (2,645)² = 0 

4h² - 16h + 7 = 0 

Obtenemos una ecuación de 2° grado, donde conocemos el valor de h 

h₁ = 0,5m 

h₂ = 3,5m 

Como las dos medidas de h se realizaron desde la superficie podemos decir que el segundo orificio debe realizarse a 0,5m por encima del fondo,porque:

 4m - 3,5m = 0,5m.