Question

1. Considere el sistema de ecuaciones: (1 α (x1 (1-β
β 1) x2 ) α)
a) Calcule los valores de αYβ, sabiendo que el par ordenado P(x_1,x_2 )=P(2,1) satisface la primera ecuación y el par ordenado Q(x_1,x_2 )=Q(2,10) satisface la segunda.
b) Si sustituimos estos valores de α Y β calculados, ¿el sistema tiene solución única? ¿Por qué?

Answer 1

Los valores de α y β que satisfacen las condiciones dadas son 4 y -3 respectivamente.

Con estos valores, se puede observar que el sistema tiene una solución única

Si resolvemos el producto de las matrices tenemos

Primera ecuación

x1 + αx2 = 1 - β

Segunda ecuación

βx1 + x2 = α

Si sustituimos x1 = 2, x2 = 1 en la primera ecuación, tenemos

2 + α = 1 - β

α + β = 1

Y si se sustituye x1 = 2, x2 = 10 en la segunda ecuación, queda

2β + 10 = α

2β - α = -10

Por lo que debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones

α + β = 1

- α + 2β = -10

Si aplicamos el método de Cramer obtenemos un resultado directo

α = (2 + 10)/(2 + 1) = 12/3 =4

β = (-10+1)/(2+1) = -9/3 = -3

Es decir, la solución al sistema es α = 4 y β = -3

Y la matriz quedaría

$\left(\begin{array}{ccc}1&4\\-3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\end{array}\right)$

Se puede ver que este tiene sistema tiene una solución única (el determinante de la matriz $\left(\begin{array}{ccc}1&4\\-3&1\end{array}\right)$ no es 0), para hallarla simplemente volvemos a aplicar el método de cramer en el sistema, los resultados son los siguientes

x1 = (4-16)/(1+12) = -12/13

x2 = (4+12)/(1+12) = 16/13