Question

1. calcular la integral: ∫(x²+3)⁵ 2xdx=
2. calcular la integral: ∫dx/ (2+3x)³=
3. calcular la integral: ∫√2x-1dx=
4. calcular la integral: ∫ dx/2-3x=
5 calcular la integral: ∫2x+3/x² + 3x dx=

Answer 1

Haber, para el primero,

$\displaystyle\int{(x^{2}+3)^{5}2x}dx$

para ésta integral tienes dos caminos, el primero sería "abrir" o desarrollar el binomio a la quinta potencia, puedes usar el triángulo de Pascal si no recuerdas como hacerlo, y el otro camino es que usemos los métodos propios de la integración...en éste caso, sería una sustitución,

podemos considerar una sustitución,

$u=x^{2}+3$

ahora lo derivamos,

$du=2xdx$

¿ningún problema, verdad?, de aquí despejamos el diferencial de equis,

$dx=\displaystyle\frac{du}{2x}$

ahora, si con éstos datos armamos la nueva integral,

$\displaystyle\int{(u)^{5}(2x)}\frac{du}{2x}=\int{u^{5}}du$
y ésta integral ya es mucho más fácil, porque usamos la integral de la potencia, haber,

$\displaystyle\int{x^{n}}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

para usar éste caso entenderás que "n" no puede ser -1, el caso particular cuando n=-1 es otra integral..pero eso no nos interesa por ahora, aquí indetificas  que n=5, entonces

$\displaystyle\int{u^{5}}du=\frac{u^{5+1}}{5+1}+C=\frac{u^{6}}{6}+C$

ahora debemos volver a la variable original, es decir la sustituci´n que hicismos, entonces,

$\displaystyle\int{(x^{2}+3)^{5}2x}dx=\frac{(x^{2}+3)^{6}}{6}+C$

y eso sería todo..

haber, la segunda quiero que la hagas tu, la pista que te doy es has una sustitución: u=2+3x, deriva, despeja, y luego reemplaza en la integral...aquí vamos a usar el caso particular del que te hablé,

$\displaystyle\int{x^{-1}}dx=\int{\frac{1}{x}}dx=\ln|x|+C$

y el problema se acaba...

para el siguiente has lo mismo, consideras u=2x-1 derivas, despejas, reemplazas...y armas la integral..me parece que te queda una integral para usar la integral de la potencia...el primer caso que vimos,

para el siguiente de igual manera...

y para el último,,

es un caso, muy importante que sepas manejar...primero, recordarás la derivada de un logaritmo natiural,

 $(\ln|x|)'=\displaystyle\frac{x'}{x}$

te acuerdas? entonces, usando el primer teorema fundamental del cálculo,

$\displaystyle\int{f'(x)}dx=f(x)+C$

si integro una derivada, tranquilamente ya se su primitiva, en el último ejercicio si te das cuenta,

$\displaystyle\frac{2x+3}{x^{2}+3x}=\frac{\textrm{derivada}}{\textrm{funcion}}=(\ln|x^{2}+3x|)'$

entonces,

$\displaystyle\int{\frac{2x+3}{x^{2}+3x}}dx=\ln|x^{2}+3x|+C$

si ¿verdad?, si derivo ese resultado debo obtener lo que está dentro de la integral...y listo..

Espero te sirva  y si tienes alguna duda me avisas