Question

1.b. Continuidad
En un circuito eléctrico es necesario suministrar corriente sin tener saltos o interrupciones en todo momento, hallar las constantes a y b para que permanezca sin saltos. La intensidad de corriente en función del tiempo I(t) está dada por la siguiente función:
i(t)={■(sin⁡(at)/t&si t<0@t^2+at+b&si 0≤t≤1@(√t-1)/(t-1)&si t>1)┤

Answer 1

En la función propuesta los valores de a y b que la hacen continua son a=b=-1/4.

Explicación:

Vamos a evaluar la continuidad en los puntos de cambio de ramas de la función. Para que esta sea continua debe cumplirse:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x)=\lim_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0)$

Además de la función estar definida en el punto bajo estudio.

En t=0 vamos a analizar la primera rama teniendo en cuenta que es:

$\lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}=1$

Con lo que nos queda:

$\lim_{t \to 0} \frac{sen(at)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{a.sen(at)}{a.t}=a$

Ahora el límite para valores mayores o iguales que 0 tiene que ser:

$\lim_{x \to 0} t^2+at+b=a\\\\b=a$

En t=1, tenemos ahora que el límite para valores menores o iguales a 1 es:

$\lim_{x \to 1} t^2+at+a=1+2a$

Con lo que en la rama para valores mayores que 1 tiene que ser;

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{t}-1}{t-1} \\\\ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{t}-1}{t-1} \frac{\sqrt{t}+1}{\sqrt{t}+1}= \lim_{x \to 1} \frac{t-1}{(t-1)(\sqrt{t}+1)}= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{t}+1}=\frac{1}{2}$

Con lo cual, como los límites laterales tienen que ser iguales en t=1 tenemos:

$1+2a=\frac{1}{2}\\\\2a=-\frac{1}{2}\\\\a=-\frac{1}{4}$