Question

1.87 La figura 1.11 c muestra un paralelogramo basado en los dos vectores A y B a) Demuestre que la magnitud del producto cruz de estos
dos vectores es igual al área del paralelogramo. (Sugerencia: área 5
base 3 altura.) b) ¿Qué ángulo hay entre el producto cruz y el plano
del paralelogramo?

Answer 1

El producto cruz será siempre perpendicular al plano que definen los vectores operandos y tanto el módulo del producto vectorial como el área del paralelogramo que forman es $a=||A||.||B||.sen(\theta)$

Explicación:

a) Por definición el producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B es igual a:

$||P||=||A||.||B||.sen(\theta)$

Se dice que el módulo del vector resultante es igual al área del paralelogramo que forman estos dos vectores, lo cual aplicando trigonometría y teniendo en cuenta que el área de todo paralelogramo es igual al producto entre la base y la altura queda:

$a=b.h$

Si tomamos como base el vector B, la altura es la proyección del vector a sobre una recta perpendicular a B. Queda:

$b=||B||\\h=||A||.sen(\theta)$

Si usamos estas expresiones para hallar el área queda:

$a=||A||.||B||.sen(\theta)$

Quedando demostrado que el producto vectorial tiene como módulo el área del paralelogramo que forman los dos vectores.

b) El producto cruz da como resultado un vector que será siempre perpendicular al plano en que están los dos vectores operandos, por definición de producto vectorial.